Modélisation et simulation du mouvement de structures fines dans un fluide visqueux : application au transport mucociliaire

par Loïc Lacouture

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Bertrand Maury et de Sébastien Martin.

Soutenue le 23-06-2016

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec Université Paris-Sud (1970-2019) (établissement opérateur d'inscription) et de Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....) (laboratoire) .

Le président du jury était Philippe Poncet.

Le jury était composé de Bertrand Maury, Sébastien Martin, Philippe Poncet, Franck Boyer, Emmanuel Maitre, Astrid Decoene, Angelo Iollo.

Les rapporteurs étaient Franck Boyer, Emmanuel Maitre.


  • Résumé

    Une grande part des muqueuses à l’intérieur du corps humain sont recouvertes de cils qui, par leurs mouvements coordonnés, conduisent à une circulation de la couche de fluide nappant la muqueuse. Dans le cas de la paroi interne des bronches, ce processus permet l’évacuation des impuretés inspirées à l’extérieur de l’appareil respiratoire.Dans cette thèse, nous nous intéressons aux effets du ou des cils sur le fluide, en nous plaçant à l’échelle du cil, et on considère pour cela les équations de Stokes incompressible. Due à la finesse du cil, une simulation directe demanderait un raffinement important du maillage au voisinage du cil, pour un maillage qui évoluerait à chaque pas de temps. Cette approche étant trop onéreuse en terme de coûts de calculs, nous avons considéré l’asymptotique d’un diamètre du cil tendant vers 0 et d’une vitesse qui tend vers l’infini : le cil est modélisé par un Dirac linéique de forces en terme source. Nous avons montré qu’il était possible de remplacer ce Dirac linéique par une somme de Dirac ponctuels distribués le long du cil. Ainsi, nous nous sommes ramenés, par linéarité, à étudier le problème de Stokes avec en terme source une force ponctuelle. Si les calculs sont ainsi simplifiés (et leurs coûts réduits), le problème final est lui plus singulier, ce qui motive une analyse numérique fine et l’élaboration d’une nouvelle méthode de résolution.Nous avons d’abord étudié une version scalaire de ce problème : le problème de Poisson avec une masse de Dirac en second membre. La solution exacte étant singulière, la solution éléments finis est à définir avec précaution. La convergence de la méthode étant dégradée dans ce cas-là, par rapport à celle dans le cas régulier, nous nous sommes intéressés à des estimations locales. Nous avons démontré une convergence quasi-optimale en norme Hs (s ě 1) sur un sous-domaine qui exclut la singularité. Des résultats analogues ont été obtenus dans le cas du problème de Stokes.Pour palier les problèmes liés à une mauvais convergence sur l’ensemble du domaine, nous avons élaboré une méthode pour résoudre des problème elliptiques avec une masse de Dirac ou une force ponctuelle en terme source. Basée sur celle des éléments finis standard, elle s’appuie sur la connaissance explicite de la singularité de la solution exacte. Une fois données la position de chacun des cils et leur paramétrisation, notre méthode rend possible la simulation directe en 3d d’un très grand nombre de cils. Nous l’avons donc appliquée au cas du transport mucociliaire dans les poumons. Cet outil numérique nous donne accès à des informations que l’on ne peut avoir par l’expérience, et permet de simuler des cas pathologiques comme par exemple une distribution éparse des cils.

  • Titre traduit

    Modelling and simulation of the movement of thin structures in a viscous fluid : application to the muco-ciliary transport


  • Résumé

    Numerous mucous membranes inside the human body are covered with cilia which, by their coordinated movements, lead to a circulation of the layer of fluid coating the mucous membrane, which allows, for example, in the case of the internal wall of the bronchi, the evacuation of the impurities inspired outside the respiratory system.In this thesis, we integrate the effects of the cilia on the fluid, at the scale of the cilium. For this, we consider the incompressible Stokes equations. Due to the very small thickness of the cilia, the direct computation would request a time-varying mesh grading around the cilia. To avoid too prohibitive computational costs, we consider the asymptotic of a zero diameter cilium with an infinite velocity: the cilium is modelled by a lineic Dirac of force in source term. In order to ease the computations, the lineic Dirac of forces can be approached by a sum of punctual Dirac masses distributed along the cilium. Thus, by linearity, we have switched our initial problem with the Stokes problem with a punctual force in source term. Thus, we simplify the computations, but the final problem is more singular than the initial problem. The loss of regularity involves a deeper numerical analysis and the development of a new method to solve the problem.We have first studied a scalar version of this problem: Poisson problem with a Dirac right-hand side. The exact solution is singular, therefore the finite element solution has to be defined with caution. In this case, the convergence is not as good as in the regular case, and thus we focused on local error estimates. We have proved a quasi-optimal convergence in H1-norm (s ď 1) on a sub-domain which does not contain the singularity. Similar results have been shown for the Stokes problem too.In order to recover an optimal convergence on the whole domain, we have developped a numerical method to solve elliptic problems with a Dirac mass or a punctual force in source term. It is based on the standard finite element method and the explicit knowl- edge of the singularity of the exact solution. Given the positions of the cilia and their parametrisations, this method permits to compute in 3d a very high number of cilia. We have applied this to the study of the mucociliary transport in the lung. This numerical tool gives us information we do not have with the experimentations and pathologies can be computed and studied by this way, like for example a small number of cilia.


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