Théorie des représentations combinatoire de tours de monoïdes : Application à la catégorification et aux fonctions de parking

par Aladin Virmaux

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Nicolas Thiéry.

Le président du jury était Michèle Sebag.

Le jury était composé de Nicolas Thiéry, Michèle Sebag, Stuart Margolis, Nantel Bergeron, Jean-Christophe Novelli, Jean-Éric Pin, Alin Bostan.

Les rapporteurs étaient Stuart Margolis, Nantel Bergeron.


  • Résumé

    Cette thèse se situe en combinatoire algébrique, et plus particulièrement en théorie combinatoire des représentations linéaires des monoïdes finis. Rappelons qu'un monoïde est un ensemble fini M muni d'une multiplication et d'un élément neutre, et qu'une représentation de M est un morphisme de M dans le monoïde des matrices M_n(ck) où ck est un corps, typiquement ck =CC. Les résultats des dernières décennies donnent un contrôle assez fin sur les représentations des monoïdes, permettant souvent de se ramener à de la théorie des représentations des groupes et de la combinatoire sur des préordres. En 1996, Krob et Thibon ont montré que l'induction et la restriction des représentations irréductibles et projectives de la tour des 0-algèbres de Hecke H_n(0) permet de munir l'ensemble des caractères d'une structure d'algèbre de Hopf, qui est isomorphe a l'algèbre de Hopf ncsf des fonctions symétriques non commutatives. Cela donne une catégorification de ncsf, c'est-à-dire une interprétation de celle-ci en terme de théorie des représentations. Ils prolongent ainsi un résultat dû à Frobenius établissant un lien entre l'anneau des caractères de la tour des groupes symétriques et les fonctions symétriques. Un problème naturel depuis lors est d'essayer de catégorifier d'autres algèbres de Hopf -- par exemple l'algèbre pbt desarbres binaires de Loday et Ronco -- par des tours d'algèbres. Deviner une telle tour d'algèbres est difficile en général. Dans le cadre de ce manuscrit on restreint le champ de recherche aux tours de monoïdes, afin de mieux contrôler leurs représentations. C'est naturel car ce cadre couvre en fait les deux exemples fondamentaux ci-dessus, tandis qu'il est impossible de catégorifier ncsf avec seulement une tour de groupes. Nous commençons par donner quelques résultats sur les représentations des toursde monoïdes. Ensuite, nous nous intéressons à la catégorification par des tours de semi-treillis, et en particulier de quotients du permutoèdre. Avecceux-ci, nous catégorifions la structure de cogèbre de fqsym sur la base gbasis et celle d'algèbre de fqsym sur la base fbasis. Cela ne permet cependant pas de catégorifier simultanément toute la structure de Hopf de ces algèbres. Dans un second temps, nous menons une recherche exhaustive des catégorifications de pbt. Nous montrons que, sous des hypothèses naturelles, il n'existe pas de catégorification de pbt par une tour de monoïdes apériodiques. Enfin, nous démontrons que, dans un certain sens, la tour des monoïdes 0-Hecke est la tour de monoïdes la plus simple catégorifiant ncsf. La seconde partie porte sur les fonctions de parking, par application des résultats de la première partie. D'une part, nous étudions la théorie des représentations de la tour des fonctions de parking croissantes. D'autre part,dans un travail commun avec Jean-Baptiste Priez nous reprenons une généralisation des fonctions de parking due à Stanley et Pitman. Afin d'obtenir des formules d'énumérations, nous utilisons une variante -- plus efficace dansle cas présent -- de la théorie des espèces. Nous donnons une action de H_n(0) (et non du groupe symétrique) sur les fonctions de parking généralisées, et utilisons le théorème de catégorification de Krob et Thibon,pour relever dans les fonctions symétriques non commutatives le caractère de cette action.

  • Titre traduit

    Combinatorial representation theory of tower monoids : Application to categorification and to parking functions


  • Résumé

    This thesis is focused on combinatorical representation theory of finite monoids within the field of algebraic combinatorics. A monoid M is a finite set endowed with a multiplication and a neutralelement. A representation of M is a morphism from M into the monoid of matrices M_n(ck) where ck is a field; in this work it will typically bereferred to as ck = CC. The results obtained in the last decades allows us to use representation theory of groups, and combinatorics on preorders in order to explore representation theory of finite monoides. In 1996, Krob and Thibon proved that the induction and restriction rules of irreducible and projective representations of the tower of 0-Hecke monoids endows its ring of caracters with a Hopf algebra structure, isomorph to thenon-commutative symmetric functions Hopf algebra ncsf. This gives a categorification of ncsf, which is an interpretation of the non-commutative symmetruc functions in the language of representation theory. This extends a theorem of Frobenius endowing the character ring of symmetric groups to theHopf algebra of symmetric functions. Since then a natural problem is to categorify other Hopf algebras -- for instance the Planar Binary Tree algebra of Loday and Ronco -- by a tower of algebras. Guessing such a tower of algebra is a difficult problem in general. In this thesis we restrict ourselves to towers of monoids in order to have a better control on its representations. This is quite natural as on one hand, this setup covers both previous fundamental examples, whereas ncsf cannot be categorified in the restricted set of tower of group algebras. In the first part of this work, we start with some results about representation theory of towers of monoids. We then focus on categorification with towers of semilatices, for example the tower of permutohedrons. We categorify the algebra, and cogebra structure of fqsym, but not the full Hopf algebra structure with its dual. We then make a comprehensive search in order to categorify pbt with a tower of monoids. We show that under natural hypothesis, there exists no tower of monoids satisfying the categorification axioms. Finally we show that in some sense, the tower of 0-Hecke monoids isthe simplest tower categorifying ncsf. The second part of this work deals with parking functions, applying results from the first part. We first study the representation theory of non decreasing parking functions. We then present a joint work with Jean-Baptiste Priez on ageneralization of parking functions from Pitman and Stanley. To obtain enumeration formulas, we use a variant of the species theory which was more efficient in our case. We used an action of H_n(0) instead of the symmetric group and use the Krob-Thibon theorem to lift the character of this action into the Hopf algebra of non-commutative symmetric functions.


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