Représentation et analyse algébriques de système de solides sur-contraints en boucle fermée

par Anissa Ali

Thèse de doctorat en Mécanique des solides

Sous la direction de Alain Rivière.

Soutenue le 11-07-2016

à Paris Saclay , dans le cadre de École doctorale Sciences Mécaniques et Energétiques, Matériaux et Géosciences (Cachan, Val-de-Marne) , en partenariat avec Laboratoire Quartz (Saint-Ouen, Seine-Saint-Denis) (laboratoire) et de CentraleSupélec (2015-....) (établissement opérateur d'inscription) .


  • Résumé

    Un système de solides peut être classé suivant trois états de mobilité: l’état non assemblé, l’état assemblé rigide et l’état assemblé mobile. L’étude se focalise sur les systèmes de solides sur-contraints en boucle fermée. Lors de l’étape de conception ou reconception, les dimensions d’un système de solides sur-contraints sont amenées à être modifiées, ce qui peut avoir pour conséquence la perte de son état de mobilité.L’approche présentée dans cette thèse a pour but de proposer une assistance au concepteur lors du redimensionnement, lui permettant de modifier ou conserver l’état de mobilité d’un système de solides. Le redimensionnement de systèmes de solides sur-contraints nécessite la connaissance de relations dépendant de leurs dimensions: les équations d’assemblage et les conditions de mobilité. Ces relations sont obtenues à l’aide d’un outil de résolution algébrique: les bases de Gröbner. La résolution algébrique est parfois coûteuse, voire impossible en un temps raisonnable, c’est ce qui justifie les méthodes décrites dans cette thèse.La solution proposée est composée de deux étapes principales. Tout d’abord, les représentations algébriques d’un système de solides fermé et mobile sont décrites. Les équations de fermeture d’un système de solides composé de plusieurs boucles sont obtenues en utilisant un paramétrage en coordonnées relatives. Les équations de mobilité sont elles générées à partir des équations de fermeture, à l’aide de méthodes directes ou incrémentales. Ensuite, afin de faciliter la génération des équations d’assemblage et de mobilité, une analyse algébrique reposant sur des outils d’analyse numérique est définie. L’état de mobilité du système de solides à redimensionner est déterminé à partir d’un ensemble de valeurs des paramètres le décrivant. Si le concepteur souhaite modifier l’état de mobilité du système de solides, de nouvelles valeurs sont alors générées. Lorsque l’état de mobilité souhaité est obtenu, il est possible de varier les dimensions tout en conservant cet état. Pour cela, certaines dimensions sont spécialisées afin de faciliter la génération des équations d’assemblage et des conditions de mobilité. Si les paramètres choisis sont liés ou trop nombreux, l’analyse mène inéluctablement à une absence de solutions. Des stratégies de partitionnement pour pallier ces problèmes sont aussi proposées. Enfin, les outils développés dans le logiciel Maple® afin d’illustrer les différents concepts proposés sont présentés, et un outil interactif permettant au concepteur de naviguer sur les équations de fermeture, équations d’assemblage et les conditions de mobilité obtenues après spécialisation, est proposé.

  • Titre traduit

    Algebraic representation and analysis of over-constrained closed-loop mechanisms


  • Résumé

    An assembly can be partitioned into three mobility states: the impossible state, the rigid state and the mobile state. The study focuses in over-constrained closed-loop assemblies. During the process of design or re-design, the dimensions of the assembly can vary and this can lead to the loss of its mobility state.The method presented in this thesis aims at helping the designer to resize an assembly. There exist relationships between the dimension of the assembly that ensure the closure and the mobility of over-constrained. These relationships called assembly equations and mobility conditions are hence necessary to resize an over-constrained solid assembly. Assembly equations and mobility conditions are computed by a computer algebra tool: Gröbner bases. However, the algebraic solving using Gröbner bases can be costly and may fail because of unreasonable computing time, this is the main reason of the strategies described in this thesis.The approach proposed in this thesis is composed of two main steps. First of all, an algebraic representation of a closed assembly and a mobile assembly is descibed. The closed-loop equations are written by using a coordinate free method and the mobility equations are generated from the closed-loop equations using direct and incremental methods. To simplify the computation of assembly equations and mobility conditions an algebraic analysis that rely on numerical analysis tools is proposed. Starting from a set of values of the parameters that describe the assembly to resize, the mobility state of the assembly is determined. Then, if the designer want to change the mobility state, a new set of values that have the mobility state chosen by the designer is generated. Once the initial set of values has the right mobility state, some dimensions are specialized to ease the computation of assembly equations and mobility conditions. However, if the parameters chosen are linked or its number is to high, there is a high chance that the study lead to no solution. Strategies to avoid these problems are also proposed. Finally, the tools developped in Maple® software that illustrate the methods proposed are described and an interactive tool that permits the designer to visualize the solutions of the closed-loop equations, assembly equations and mobility conditions computed after specialisation is proposed.


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