Processus stochastiques et systèmes désordonnés : autour du mouvement Brownien

Stochastic processes and disordered systems : around Brownian motion

• Auteur / Autrice : Mathieu Delorme
• Direction : Kay Jörg Wiese, Pierre Le Doussal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Physique
• Date : Soutenance le 02/11/2016
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Physique en Île-de-France (Paris ; 2014-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de physique de l'ENS (Paris ; 2019-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation de la thèse : École normale supérieure (Paris ; 1985-....)
• Jury : Président / Présidente : Clément Sire
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Kay Jörg Wiese, Clément Sire, Pavel L. Krapivsky, Joachim Krug, Kirone Mallick, Christophe Texier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pavel L. Krapivsky, Joachim Krug

Mots clés

Mots clés contrôlés

Physique

Mots clés libres

Mouvement Brownien

Mouvement Brownien fractionnaire

Processus Non-Markovien

Invariance d’échelle

Intégrales de chemin

Desordre gelé

Interfaces

Avalanches

Brownian motion

Fractional Brownian motion

Non-Markovian processes

Scale invariance

Path integrals

Quenched disorder

Interfaces

Avalanches

Résumé

Dans cette thèse, on étudie des processus stochastiques issus de la physique statistique. Le mouvement Brownien fractionnaire, objet central des premiers chapitres, généralise le mouvement Brownien aux cas où la mémoire est importante pour la dynamique. Ces effets de mémoire apparaissent par exemple dans les systèmes complexes et la diffusion anormale. L’absence de la propriété de Markov rend difficile l’étude probabiliste du processus. On développe une approche perturbative autour du mouvement Brownien pour obtenir de nouveaux résultats, sur des observables liées aux statistiques des extrêmes. En plus de leurs applications physiques, on explore les liens de ces résultats avec des objets mathématiques, comme les lois de Lévy et la constante de Pickands.

In this thesis, we study stochastic processes appearing in different areas of statistical physics: Firstly, fractional Brownian motion is a generalization of the well-known Brownian motion to include memory. Memory effects appear for example in complex systems and anomalous diffusion, and are difficult to treat analytically, due to the absence of the Markov property. We develop a perturbative expansion around standard Brownian motion to obtain new results for this case. We focus on observables related to extreme-value statistics, with links to mathematical objects: Levy’s arcsine laws and Pickands’ constant. Secondly, the model of elastic interfaces in disordered media is investigated. We consider the case of a Brownian random disorder force. We study avalanches, i.e. the response of the system to a kick, for which several distributions of observables are calculated analytically. To do so, the initial stochastic equation is solved using a deterministic non-linear instanton equation. Avalanche observables are characterized by power-law distributions at small-scale with universal exponents, for which we give new results.