Numerical Methods for Multi-Marginal Optimal Transportation

par Luca Nenna

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Jean-David Benamou et de Guillaume Carlier.

Soutenue le 05-12-2016

à Paris Sciences et Lettres , dans le cadre de Ecole doctorale de Dauphine (Paris) , en partenariat avec Université Paris-Dauphine (Etablissement de préparation de la thèse) et de Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) (laboratoire) .

Le président du jury était Yann Brenier.

Le jury était composé de Yann Brenier, Dejan Slepčev, Alfred Galichon, Mathieu Lewin, Christian Léonard, Virginie Ehrlacher.

Les rapporteurs étaient Dejan Slepčev, Alfred Galichon.

  • Titre traduit

    Méthodes numériques pour le transport optimal multi-marges


  • Résumé

    Dans cette thèse, notre but est de donner un cadre numérique général pour approcher les solutions des problèmes du transport optimal (TO). L’idée générale est d’introduire une régularisation entropique du problème initial. Le problème régularisé correspond à minimiser une entropie relative par rapport à une mesure de référence donnée. En effet, cela équivaut à trouver la projection d’un couplage par rapport à la divergence de Kullback-Leibler. Cela nous permet d’utiliser l’algorithme de Bregman/Dykstra et de résoudre plusieurs problèmes variationnels liés au TO. Nous nous intéressons particulièrement à la résolution des problèmes du transport optimal multi-marges (TOMM) qui apparaissent dans le cadre de la dynamique des fluides (équations d’Euler incompressible à la Brenier) et de la physique quantique (la théorie de fonctionnelle de la densité ). Dans ces cas, nous montrons que la régularisation entropique joue un rôle plus important que de la simple stabilisation numérique. De plus, nous donnons des résultats concernant l’existence des transports optimaux (par exemple des transports fractals) pour le problème TOMM.


  • Résumé

    In this thesis we aim at giving a general numerical framework to approximate solutions to optimal transport (OT) problems. The general idea is to introduce an entropic regularization of the initialproblems. The regularized problem corresponds to the minimization of a relative entropy with respect a given reference measure. Indeed, this is equivalent to find the projection of the joint coupling with respect the Kullback-Leibler divergence. This allows us to make use the Bregman/Dykstra’s algorithm and solve several variational problems related to OT. We are especially interested in solving multi-marginal optimal transport problems (MMOT) arising in Physics such as in Fluid Dynamics (e.g. incompressible Euler equations à la Brenier) and in Quantum Physics (e.g. Density Functional Theory). In these cases we show that the entropic regularization plays a more important role than a simple numerical stabilization. Moreover, we also give some important results concerning existence and characterization of optimal transport maps (e.g. fractal maps) for MMOT .


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Informations

  • Détails : 1 vol. (211 p.)

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Paris-Dauphine (Paris). Service commun de la documentation.
  • Non disponible pour le PEB
  • Bibliothèque : PARIS-PSL (Paris). Université Paris-Dauphine. Service commun de la documentation : Thèses électroniques Dauphine.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.