Systèmes de particules en interaction, approche par flot de gradient dans l'espace de Wasserstein

par Maxime Laborde

Thèse de doctorat en Sciences

Sous la direction de Guillaume Carlier.

Soutenue le 01-12-2016

à Paris Sciences et Lettres , dans le cadre de Ecole doctorale de Dauphine (Paris) , en partenariat avec Université Paris-Dauphine (Etablissement de préparation de la thèse) et de Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) (laboratoire) .

Le président du jury était Giuseppe Buttazzo.

Le jury était composé de Giuseppe Buttazzo, Daniel Matthes, Michel Pierre, Jean Dolbeault, Bertrand Maury.

Les rapporteurs étaient Daniel Matthes, Michel Pierre.


  • Résumé

    Depuis l’article fondateur de Jordan, Kinderlehrer et Otto en 1998, il est bien connu qu’une large classe d’équations paraboliques peuvent être vues comme des flots de gradient dans l’espace de Wasserstein. Le but de cette thèse est d’étendre cette théorie à certaines équations et systèmes qui n’ont pas exactement une structure de flot de gradient. Les interactions étudiées sont de différentes natures. Le premier chapitre traite des systèmes avec des interactions non locales dans la dérive. Nous étudions ensuite des systèmes de diffusions croisées s’appliquant aux modèles de congestion pour plusieurs populations. Un autre modèle étudié est celui où le couplage se trouve dans le terme de réaction comme les systèmes proie-prédateur avec diffusion ou encore les modèles de croissance tumorale. Nous étudierons enfin des systèmes de type nouveau où l’interaction est donnée par un problème de transport multi-marges. Une grande partie de ces problèmes est illustrée de simulations numériques.

  • Titre traduit

    Interacting particles systems, Wasserstein gradient flow approach


  • Résumé

    Since 1998 and the seminal work of Jordan, Kinderlehrer and Otto, it is well known that a large class of parabolic equations can be seen as gradient flows in the Wasserstein space. This thesis is devoted to extensions of this theory to equations and systems which do not have exactly a gradient flow structure. We study different kind of couplings. First, we treat the case of nonlocal interactions in the drift. Then, we study cross diffusion systems which model congestion for several species. We are also interested in reaction-diffusion systems as diffusive prey-predator systems or tumor growth models. Finally, we introduce a new class of systems where the interaction is given by a multi-marginal transport problem. In many cases, we give numerical simulations to illustrate our theorical results.


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  • Détails : 1 vol. (622 p.)

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