Aspects combinatoires des motifs linéaires en géométrie discrète

Combinatorial aspects of the linear patterns in discrete geometry

• Auteur / Autrice : Daniel Khoshnoudirad
• Direction : Hugues Talbot
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 17/06/2016
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LIGM – Laboratoire d'Informatique Gaspard-Monge (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : David Coeurjolly
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Hugues Talbot, Jean Fresnel, Isabelle Sivignon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : André Leroy
• DOI : 10.70675/193b40e1z7459z4b2ez9ae6ze3e89a311f79

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie discrète

Analyse diophantienne

Approximation asymptotique

Mots clés libres

Diagrammes de Farey

Segments discrets

Plans discrets

Equations diophantiennes

Estimations asymptotiques

Droites de Farey ; sommets de Farey; et plans de Farey

Farey diagrams

Discrete segments

Discrete Planes

Diophantine equations

Asymptotics estimations

Farey lines; Farey vertices and Farey planes

Résumé

La Géométrie Discrète, comme Science de l'Informatique Théorique, étudie notamment les motifs linéaires tels que les primitives discrètes apparaissant dans les images : les droites discrètes, les segments discrets, les plans discrets, les morceaux de plans discrets par exemple. Dans ce travail, je me concentre tout particulièrement sur les diagrammes de Farey qui apparaissent lors de l'étude des primitives discrètes que sont les (m,n)-cubes, autrement dit les morceaux de plans discrets. J’étudie notamment la Combinatoire des droites formant les diagrammes de Farey, en établissant des formules exactes. Je montre alors que certaines méthodes utilisées auparavant ne permettront pas d'optimiser la Combinatoire des (m,n)-cubes. J'obtiens aussi une estimation asymptotique en utilisant la Théorie des Nombres Combinatoire. Puis, concernant les sommets apparaissant dans les diagrammes de Farey, j'obtiens une borne inférieure. J'analyse alors les stratégies déjà mises en place pour l'étude des (m,n)-cubes par les seuls diagrammes de Farey en deux dimensions. Afin d'obtenir de nouvelles bornes plus précises pour les (m,n)-cubes, une des seules méthodes actuellement existantes, est de proposer une généralisation de la notion de pré image d'un segment discret, à celle de pré image d'un (m,n)-cube, avec pour conséquence une nouvelle inégalité combinatoire sur le cardinal des (m,n)-cubes (inégalité qui pourrait même s'avérer être une égalité). Ainsi, nous introduisons la notion de diagramme de Farey en trois dimensions

Discrete Geometry, as Theoretical Computer Science, studies in particular linear patterns such as discrete primitives in images: the discrete lines, discrete segments, the discrete planes, pieces of discrete planes, for example. In this work, I particularly focused on Farey diagrams that appear in the study of the (m, n) - cubes, ie the pieces of discrete planes. Among others, I study the Combinatorics of the Farey lines forming diagram Farey, establishing exact formulas. I also get an asymptotic estimate using Combinatorial Number Theory. Then, I get a lower bound for the cardinality of the Farey vertices. After that, we analyze the strategies used in the literature for the study of (m, n)- cubes only by Farey diagrams in two dimensions. In order to get new and more accurate bounds for (m, n)- cubes, one of the few available methods, is to propose a generalization for the concept of preimage of a discrete segment for (m, n) - cube, resulting in a new combinatorial inequality. Thus, we introduce the notion Farey diagram in three dimensions