Interplanetary transfers with low consumption using the properties of the restricted three body problem

par Maxime Chupin

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Thomas Haberkorn, Emmanuel Trélat et de Max Cerf.

Soutenue le 19-10-2016

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec Laboratoire Jacques-Louis Lions (laboratoire) .

Le jury était composé de Thomas Haberkorn, Jean-Baptiste Caillau, Richard Épenoy, Pascal Frey.

  • Titre traduit

    Transferts interplanétaires à faible consommation utilisant les propriétés du problème restreint des trois corps


  • Résumé

    Le premier objectif de cette thèse est de bien comprendre les propriétés de la dynamique du problème circulaire restreint des trois corps et de les utiliser pour calculer des missions pour satellites pourvus de moteurs à faible poussée. Une propriété fondamentale est l'existence de variétés invariantes associées à des orbites périodiques autour des points de \bsc{Lagrange}. En suivant l'idée de l'\emph{Interplanetary Transport Network}, la connaissance et le calcul des variétés invariantes, comme courants gravitationnels, sont cruciaux pour le \emph{design} de missions spatiales. Une grande partie de ce travail de thèse est consacrée au développement de méthodes numériques pour calculer le transfert entre variétés invariantes de façon optimale. Le coût que l'on cherche alors à minimiser est la norme $L^{1}$ du contrôle car elle est équivalente à minimiser la consommation des moteurs. On considère aussi la norme $L^{2}$ du contrôle car elle est, numériquement, plus facile à minimiser. Les méthodes numériques que nous utilisons sont des méthodes indirectes rendues plus robustes par des méthodes de continuation sur le coût, sur la poussée, et sur l'état final. La mise en œuvre de ces méthodes repose sur l'application du Principe du Maximum de Pontryagin. Les algorithmes développés dans ce travail permettent de calculer des missions réelles telles que des missions entre des voisinages des points de \bsc{Lagrange}. L'idée principale est d'initialiser un tir multiple avec une trajectoire admissible composée de parties contrôlées (des transferts locaux) et de parties non-contrôlées suivant la dynamique libre (les variétés invariantes). Les méthodes mises au point ici, sont efficaces et rapides puisqu'il suffit de quelques minutes pour obtenir la trajectoire optimale complète. Enfin, on développe une méthode hybride, avec à la fois des méthodes directes et indirectes, qui permettent d'ajuster la positions des points de raccord sur les variétés invariantes pour les missions à grandes variations d'énergie. Le gradient de la fonction valeur est donné par les valeurs des états adjoints aux points de raccord et donc ne nécessite pas de calculs supplémentaire. Ainsi, l'implémentation de algorithme du gradient est aisée.


  • Résumé

    The first objective of this work is to understand the dynamical properties of the circular restricted three body problem in order to use them to design low consumption missions for spacecrafts with a low thrust engine. A fundamental property is the existence of invariant manifolds associated with periodic orbits around Lagrange points. Following the Interplanetary Transport Network concept, invariant manifolds are very useful to design spacecraft missions because they are gravitational currents. A large part of this work is devoted to designing a numerical method that performs an optimal transfer between invariant manifolds. The cost we want to minimize is the $L^{1}$-norm of the control which is equivalent to minimizing the consumption of the engines. We also consider the $L^{2}$-norm of the control which is easier to minimize numerically. The numerical methods are indirect ones coupled with different continuations on the thrust, on the cost, and on the final state, to provide robustness. These methods are based on the application of the Pontryagin Maximum Principal. The algorithms developed in this work allow for the design of real life missions such as missions between the realms of libration points. The basic idea is to initialize a multiple shooting method with an admissible trajectory that contains controlled parts (local transfers) and uncontrolled parts following the natural dynamics (invariant manifolds). The methods developed here are efficient and fast (less than a few minutes to obtain the whole optimal trajectory). Finally, we develop a hybrid method, with both direct and indirect methods, to adjust the position of the matching points on the invariant manifolds for missions with large energy gaps. The gradient of the value function is given by the values of the costates at the matching points and does not require any additional computation. Hence, the implementation of the gradient descent is easy.


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