Méthodes numériques de haute précision et calcul scientifique pour le couplage de modèles hyperboliques

par Khalil Haddaoui

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Frédéric Coquel et de Edwige Godlewski.

Soutenue le 07-07-2016

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec Laboratoire Jacques-Louis Lions (laboratoire) et de ONERA - The French Aerospace Lab (laboratoire) .

Le jury était composé de Jean-Marc Hérard, Christophe Chalons, Bruno Després, Florent Renac, Claude Marmignon.


  • Résumé

    La simulation numérique adaptative d'écoulements présentant des phénomènes multi-échelles s'effectue généralement au moyen d'une hiérarchie de modèles différents selon l'échelle mise en jeu et le niveau de précision requis. Ce type de modélisation numérique entraîne des problèmes de couplage multi-échelles complexes. Cette thèse est ainsi dédiée au développement, à l'analyse et à la mise en œuvre de méthodes performantes permettant de résoudre des problèmes de couplage en espace de modèles décrits par des systèmes d'équations aux dérivées partielles hyperboliques.Dans une première partie, nous développons et analysons une méthode numérique dédiée au couplage interfacial des équations d'Euler mono-dimensionnelles. Chacun des systèmes de lois de conservation est muni d'une loi de pression distincte et l'interface de couplage séparant ces modèles est supposée fixe et infiniment mince. Les conditions de transmission sont modélisées par un terme source mesure localisé à l'interface de couplage. Le poids associé à cette mesure modélise les pertes de conservation à l'interface (typiquement des pertes de charge) et sa définition permet l'application de plusieurs stratégies de couplage. Notre méthode d'approximation repose sur les techniques d'approximation par relaxation de type Suliciu. La résolution exacte du problème de Riemann pour le système relaxé nous permet de définir un schéma numérique équilibre pour le modèle de couplage. Ce schéma préserve certaines solutions stationnaires du modèle de couplage et est applicable pour des lois de pression générales. L'implémentation de notre méthode permet de mener des expériences numériques illustrant les propriétés de notre schéma. Par exemple, nous montrons qu'il est possible de contrôler l'écoulement à l'interface de couplage en calculant des poids solutions de problèmes d'optimisation sous contraintes.La deuxième partie de cette thèse est dédiée au développement de deux schémas numériques d'ordre arbitrairement élevé en espace pour l'approximation des solutions stationnaires du problème mixte associé au modèle de Jin et Xin. Nos schémas d'approximation reposent sur la méthode de Galerkin discontinue. L’approximation des solutions du problème mixte par notre premier schéma fait intervenir uniquement des erreurs de discrétisation tandis que notre deuxième schéma est constitué à la fois d'erreurs de modélisation et de discrétisation. L'erreur de modélisation provient du remplacement, dans certaines régions spatiales, de la résolution du modèle de relaxation par celle de l'équation scalaire équilibre associée. Sous l'hypothèse d'une interface de couplage éventuellement caractéristique, la résolution du problème de Riemann associé au modèle couplé nous permet de construire un schéma numérique d'ordre arbitrairement élevé prenant en compte l'éventuelle existence de couches limites à l'interface de couplage. Enfin, la mise en œuvre de ces méthodes nous permet d'analyser quantitativement et qualitativement les erreurs de modélisation et de discrétisation commises lors de l'utilisation du schéma couplé. Ces erreurs sont fonction du niveau de raffinement de maillage utilisé, du degré de polynôme choisi et de la position de l'interface de couplage.

  • Titre traduit

    High accuracy numerical methods and scientific computing for the coupling of hyperbolic models


  • Résumé

    The adaptive numerical simulation of multiscale flows is generally carried out by means of a hierarchy of different models according to the specific scale into play and the level of precision required. This kind of numerical modeling involves complex multiscale coupling problems. This thesis is thus devoted to the development, analysis and implementation of efficient methods for solving coupling problems involving hyperbolic models.In a first part, we develop and analyze a coupling algorithm for one-dimensional Euler systems. Each system of conservation laws is closed with a different pressure law and the coupling interface separating these models is assumed fix and thin. The transmission conditions linking the systems are modelled thanks to a measure source term concentrated at the coupling interface. The weight associated to this measure models the losses of conservation and its definition allows the application of several coupling strategies. Our method is based on Suliciu's relaxation approach. The exact resolution of the Riemann problem associated to the relaxed system allows us to design an extremely accurate scheme for the coupling model. This scheme preserves equilibrium solutions of the coupled problem and can be used for general pressure laws. Several numerical experiments assess the performances of our scheme. For instance, we show that it is possible to control the flow at the coupling interface when solving constrained optimization problems for the weights.In the second part of this manuscript we design two high order numerical schemes based on the discontinuous Galerkin method for the approximation of the initial-boundary value problem associated to Jin and Xin's model. Our first scheme involves only discretization errors whereas the second approximation involves both modeling and discretization errors. Indeed in the second approximation, we replace in some regions the resolution of the relaxation model by the resolution of its associated scalar equilibrium equation. Under the assumption of a possible characteristic coupling interface, we exactly solve the Riemann problem associated to the coupled model. This resolution allows us to design a high order numerical scheme which captures the possible boundary layers at the coupling interface. Finally, the implementation of our methods enables us to analyze quantitatively and qualitatively the modeling and discretization errors involved in the coupled scheme. These errors are functions of the mesh size, the degree of the polynomial approximation and the position of the coupling interface.


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