Approches micro-macro des dynamiques de populations hétérogènes structurées par âge. Application aux processus auto-excitants et à la démographie

par Alexandre Boumezoued

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Nicole El Karoui et de Stéphane Loisel.

Soutenue le 13-04-2016

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris) , en partenariat avec Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (laboratoire) .

Le jury était composé de M. Hoffmann, M. Lefèvre, M. Kaishev, M. Pages, M. Rosenbaum.


  • Résumé

    Cette thèse porte sur la modélisation de la dynamique des populations et de ses applications, à la démographie et l’actuariat d’une part, et à l’étude des processus de Hawkes d’autre part. Ces travaux de thèse proposent d’explorer à travers différents points de vue comment se déforme la structure d’une population, tant concernant la répartition des âges que sa composition en terme de caractéristiques. À travers cinq chapitres, nous déclinons une même philosophie qui, pour comprendre comment évoluent des quantités agrégées, propose d’étudier la dynamique de la population à une échelle plus fine, celle de l’individu. Après un premier chapitre introductif en langue française, détaillant les motivations et les principales contributions, nous proposons d’abord dans le Chapitre 2 la description du cadre général de la modélisation dynamique aléatoire de populations structurées en caractéristiques et en âges, sur la base de Bensusan et al. (2010–2015), ainsi que plusieurs exemples motivés par les applications démographiques et actuarielles. Nous détaillons la construction mathématique de tels processus ainsi que le lien avec les équations déterministes classiques en démographie. Nous discutons également l’impact de l’hétérogénéité sur l’exemple d’un effet cohorte, ainsi que le rôle de l’environnement aléatoire. Les deux chapitres suivants mettent en avant l’importance de la pyramide des âges. Le modèle de population général issu du Chapitre 2 est décliné dans le Chapitre 3 pour étudier des processus de Hawkes avec immigrants généraux, pour lesquels nous exploitons le concept de pyramide des âges. Dans cette étude théorique, basée sur Boumezoued (2015b), nous établissons de nouveaux résultats sur leur distribution pour une classe de fonctions qui généralisent le cas exponentiel étudié jusqu’ici. Dans le Chapitre 4, qui reprend Arnold et al. (2015), nous analysons l’impact de changements dans la mortalité par causes de décès sur la dynamique de la pyramide des âges, et en particulier sur le ratio de dépendance qui est un indicateur crucial du vieillissement de la population. En incluant le jeu des naissances dans la dynamique, ce travail de simulations, basé sur les données de l’OMS, permet de compléter la littérature existante sur les causes de décès qui se focalise traditionnellement sur des indicateurs de mortalité. Les deux derniers chapitres étudient plus particulièrement l’hétérogénéité des populations. Le Chapitre 5, basé sur Boumezoued et al. (2015), propose de mesurer l’hétérogénéité de la mortalité dans les données de l’Échantillon Démographique Permanent de l’INSEE. Dans le cadre de cette contribution d’adaptation de méthodes statistiques et de sa mise en oeuvre sur données réelles, nous proposons une méthode d’estimation paramétrique par maximum de vraisemblance pour les modèles multi-états qui prend en compte à la fois la censure par intervalle, caractéristique des données longitudinales issues du recensement, et également le retour dans les états intermédiaires. Enfin, le Chapitre 6, tiré de Boumezoued (2015a), reprend le modèle général du Chapitre 2 dans lequel les individus peuvent donner naissance, changer de caractéristiques et décéder. La contribution de cette partie théorique est d’étudier le comportement de la population lorsque les caractéristiques individuelles changent fréquemment. Nous établissons un thèorème limite en grande population pour le processus de pyramide des âges, dont le comportement est alors décrit par des taux de naissance et mort agrégés sur la structure stable en terme de caractéristiques.

  • Titre traduit

    Micro-macro analysis of heterogenous age-structured populations dynamics. Application to self-exciting processes and demography


  • Résumé

    This thesis focuses on population dynamics models and their applications, on one hand to demography and actuarial science, and on the other hand to Hawkes processes. This work explores through several viewpoints how population structures evolve over time, both in terms of ages and characteristics. In five chapters, we develop a common philosophy which studies the population at the scale of the individual in order to better understand the behavior of aggregate quantities. The first chapter introduces the motivations and details the main contributions in French. In Chapter 2, based on Bensusan et al. (2010–2015), we survey the modeling of characteristic and age-structured populations and their dynamics, as well as several examples motivated by demographic issues. We detail the mathematical construction of such population processes, as well as their link with well known deterministic equations in demography. We illustrate the simulation algorithm on an example of cohort effect, and we also discuss the role of the random environment. The two following chapters emphasize on the importance of the age pyramid. Chapter 3 uses a particular form of the general model introduced in Chapter 2 in order to study Hawkes processes with general immigrants. In this theoretical part based on Boumezoued (2015b) we use the concept of age pyramid to derive new distribution properties for a class of fertility functions which generalize the popular exponential case. Chapter 4 is based on Arnold et al. (2015) and analyses the impact of cause-of- death mortality changes on the population age pyramid, and in particular on the dependency ratio which is crucial to measure population ageing. By including birth patterns, this numerical work based on WHO data gives additional insights compared to the existing literature on causes of death focusing only on mortality indicators. The last two chapters focus on population heterogeneity. The aim of Chapter 5, based on Boumezoued et al. (2015), is to measure mortality heterogeneity on French longitudinal data called Échantillon Démographique Permanent. In this work, inspired by recent advances in the statistical literature, we develop a parametric maximum likelihood method for multi-state models which takes into account both interval censoring and reversible transitions. Finally, Chapter 6, based on Boumezoued (2015a), considers the general model introduced in Chapter 2 in which individuals can give birth, change their characteristics and die. The contribution of this theoretical work is the analysis of the population behavior when individual characteristics change very often. We establish a large population limit theorem for the age pyramid process, whose dynamics is described at the limit by birth and death rates which are averaged over the stable population composition.

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