Dynamique des systèmes physiques, formes normales et chaînes de Markov

Dynamics of physical systems , normal forms and Markov chains

• Auteur / Autrice : Olga Paris-Romaskevich
• Direction : Étienne Ghys, Û. S. Ilʹâšenko
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/12/2016
• Etablissement(s) : Lyon en cotutelle avec Nacionalʹnyj issledovatelʹskij universitet "Vysšaâ škola ékonomiki"
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon (2009-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : École normale supérieure de Lyon (2010-...)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (Lyon ; 1991-....)
• Jury : Président / Présidente : Viviane Baladi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Étienne Ghys, Viviane Baladi, Alain Chenciner, François Béguin, Raphaël Krikorian, Marie-Claude Arnaud
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Alain Chenciner, François Béguin

Mots clés

Mots clés contrôlés

Formes normales (mathématiques)

Théorie ergodique

Mots clés libres

Théorie ergodique

Langues d’Arnold

Billard elliptique

Formes normales

Ergodic theory

Arnold tongues

Elliptic billiard

Normal forms

Résumé

Cette thèse porte sur le comportement asymptotique des systèmes dynamiques et contient cinq chapitres indépendants.Nous considérons dans la première partie de la thèse trois systèmes dynamiques concrets. Les deux premiers chapitres présentent deux modèles de systèmes physiques : dans le premier, nous étudions la structure géométrique des langues d'Arnold de l'équation modélisant le contact de Josephson; dans le deuxième, nous nous intéressons au problème de Lagrange de recherche de la vitesse angulaire asymptotique d'un bras articulé sur une surface. Dans le troisième chapitre nous étudions la géométrie plane du billard elliptique avec des méthodes de la géométrie complexe.Les quatrième et cinquième chapitres sont dédiés aux méthodes générales d'étude asymptotique des systèmes dynamiques. Dans le quatrième chapitre nous prouvons la convergence des moyennes sphériques pour des actions du groupe libre sur un espace mesuré. Dans le cinquième chapitre nous fournissons une forme normale pour un produit croisé qui peut s'avérer utile dans l'étude des attracteurs étranges de systèmes dynamiques.

This thesis deals with the questions of asymptotic behavior of dynamical systems and consists of six independent chapters. In the first part of this thesis we consider three particular dynamical systems. The first two chapters deal with the models of two physical systems: in the first chapter, we study the geometric structure and limit behavior of Arnold tongues of the equation modeling a Josephson contact; in the second chapter, we are interested in the Lagrange problem of establishing the asymptotic angular velocity of the swiveling arm on the surface. The third chapter deals with planar geometry of an elliptic billiard.The forth and fifth chapters are devoted to general methods of studying the asymptotic behavior of dynamical systems. In the forth chapter we prove the convergence of markovian spherical averages for free group actions on a probablility space. In the fifth chapter we provide a normal form for skew-product diffeomorphisms that can be useful in the study of strange attractors of dynamical systems.