Formes bilinéaires invariantes sur les algèbres de Leibniz et les systèmes triples de Lie (resp. Jordan)

par Samiha Hidri

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Saïd Benayadi et de Ali Baklouti.

Le président du jury était Camille Laurent-Gengoux.

Le jury était composé de Khaled Tounsi.

Les rapporteurs étaient Abdenacer Makhlouf, Friedrich Wagemann.


  • Résumé

    Dans cette thèse, on étudie la structure de quelques types d'algèbres (binaires et ternaires) munies d'une forme bilinéaire symétrique, non dégénérée et associative (ou invariante). La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude des algèbres de Leibniz quadratiques. On montre que ces algèbres sont symétriques. De plus, on utilise la T*-extension et la double extension pour montrer plusieurs résultats sur ce type d'algèbres. Ensuite, on a remarqué que l'anti-commutativité du crochet de Lie donne naissance à de nouveaux types d'invariance pour les algèbres de Leibniz : L'invariance à gauche et l'invariance à droite. Alors, on s'est intéresse à l'étude des algèbres de Leibniz (gauche et droite) munies d'une forme bilinéaire symétrique, non dégénérée et invariante à gauche (et invariante à droite). On prouve que ces algèbres sont Lie admissibles. En second lieu, on s'intéresse aux systèmes triples de Lie et de Jordan. On débute la deuxième partie de cette thèse par la description inductive des systèmes triples de Lie quadratiques au moyen de la double extension. En plus, on introduit la T*extension des systèmes triples de Jordan pseudo-Euclidien. Finalement, on donne deux nouvelles caractérisations des systèmes triples de Jordan semi-simples parmi les systèmes triples de Jordan pseudo-Euclidiens

  • Titre traduit

    Invariant bilinear forms on Leibniz algebras and Lie (resp. Jordan) triple systems


  • Résumé

    In this thesis, we study the stucture of several types of algebras endowed with Symmetric, non degenerate and invariant bilinear forms. In the first part, we study quadratic Leibniz algebras. First, we prove that these algebras are symmetric. Then, we use the T*-extension and the double extension to prove some properties of this type of Leibniz algebras. Besides, since we observe that the skew-symmetry of the Leibniz bracket gives rise to other types of invariance for a bilinear form on a Leibniz algebra: The left invariance and the right invariance. We focus on the study of left (resp. right) Leibniz algebras with symmetric, non degenerate and left (resp. right) invariant bilinear form. In particular, we prove that these algebras are Lie admissibles. The second part of this work is dedicated to the study of quadratic Lie triple systems and pseudo-euclidien Jordan triple systems. We start by giving an inductive description of quadratic Lie triple systems using double extension. Next, we introduce the T*-extension of Jordan triple systems. Finally, we give new caracterizations of semi-simple Jordan triple systems among pseudo-euclidian Jordan triple systems


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