Schémas numériques adaptatifs pour les équations de Vlasov-Poisson

par Éric Madaule

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Nicolas Besse et de Erwan Deriaz.

Soutenue le 04-10-2016

à l'Université de Lorraine , dans le cadre de IAEM - Ecole Doctorale Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques , en partenariat avec Institut Jean Lamour (Nancy ; Vandoeuvre-lès-Nancy ; Metz) (laboratoire) et de Institut Jean Lamour / IJL (laboratoire) .

Le président du jury était Stéphane Colombi.

Le jury était composé de Virginie Grandgirard, Simon Labrunie.

Les rapporteurs étaient Philippe Helluy, Valérie Perrier.

mots clés

• Méthodes numériques
• Vlasov-Poisson
• Schémas adaptatifs
• Transport, Théorie du
• Calcul adaptatif
• Plasmas (gaz ionisés) -- Modèles mathématiques
• Plasmas (gaz ionisés) -- Simulation, Méthodes de
• Ondelettes

Résumé

Le système d'équations de Vlasov-Poisson est un système très connu de la physique des plasmas et un enjeu majeur des futures simulations. Le but est de développer des schémas numériques utilisant une discrétisation par la méthode Galerkin discontinue combinée avec une résolution en temps semi-Lagrangienne et un maillage adaptatif basé sur l'utilisation des multi-ondelettes. La formulation Galerkin discontinue autorise des schémas d'ordres élevés avec des données locales. Cette formulation a fait l'objet de nombreuses publications, tant dans le cadre eulérien par Ayuso de Dios et al., Rossmanith et Seal, etc. que dans le cadre semi-lagrangien par Quo, Nair et Qiu, Qiu et Shu et Bokanowski et Simarta, etc. On utilise les multi-ondelettes pour l'adaptativité (et plus précisément pour la décomposition multi-échelle de la fonction de distribution). Les multi-ondelettes ont été largement étudiées par Alpert et al. pendant les années 1990 et au début des années 2000. Des travaux combinant la résolution multi-échelle avec les méthodes Galerkin discontinues ont fait l'objet de publications par Müller et al. en 2014 pour les lois de conservation hyperboliques dans le contexte des éléments finis. Besse, Latu, Ghizzo, Sonnendrücker et Bertrand ont présenté les avantages d'un maillage adaptatif dans le contexte de Vlasov-Poisson relativiste en utilisant des ondelettes à support large. La combinaison de la méthode Galerkin discontinue avec l'utilisation des multi-ondelettes ne requière en revanche qu'un support compact. Bien que la majorité de la thèse soit présentée dans un espace des phases 1d × 1v, nous avons obtenus quelques résultats dans l'espace des phases 2d × 2v.

mots clés

• Numérical méthods
• Vlasov-Poisson
• Adaptive schemes

Titre traduit

Adaptive numerical schemes for Vlasov-Poisson equations

Résumé

Many numerical experiments are performed on the Vlasov-Poisson problem since it is a well known system from plasma physics and a major issue for future simulation of large scale plasmas. Our goal is to develop adaptive numerical schemes using discontinuous Galerkin discretisation combined with semi-Lagrangian description whose mesh refinement based on multi-wavelets. The discontinuous Galerkin formulation enables high-order accuracy with local data for computation. It has recently been widely studied by Ayuso de Dioset al., Rossmanith et Seal, etc. in an Eularian framework, while Guo, Nair and Qiu or Qiu and Shu or Bokanowski and Simarta performed semi-Lagrangian time resolution. We use multi-wavelets framework for the adaptive part. Those have been heavily studied by Alpert et al. during the nineties and the two thousands. Some works merging multi-scale resolution and discontinuous Galerkin methods have been described by Müller and his colleagues in 2014 for non-linear hyperbolic conservation laws in the finite volume framework. In the framework of relativistic Vlasov equation, Besse, Latu, Ghizzo, Sonnendrücker and Bertrand presented the advantage of using adaptive meshes. While they used wavelet decomposition, which requires large data stencil, multi-wavelet decomposition coupled to discontinuous Galerkin discretisation only requires local stencil. This favours the parallelisation but, at the moment, semi-Lagrangian remains an obstacle to highly efficient distributed memory parallelisation. Although most of our work is done in a 1d × 1v phase space, we were able to obtain a few results in a 2d × 2v phase space.