On the exact simulation of (skew) Brownian diffusions with discontinuous drift

par Sara Mazzonetto

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de David Dereudre et de Sylvie Rœlly.

Soutenue le 08-11-2016

à Lille 1 en cotutelle avec l'Universität Potsdam , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .

  • Titre traduit

    Simulation exacte de diffusions browniennes (biaisées) avec dérive discontinue


  • Résumé

    Cette thèse de doctorat consiste en l’étude et en la simulation exacte de deux classes de diffusions browniennes à valeurs réelles: le mouvement brownien biaisé en plusieurs points et les diffusions browniennes avec dérive admettant un nombre fini de sauts. On appelle diffusion biaisée en plusieurs points une diffusion (Markovienne) évoluant entre plusieurs barrières semi-perméables. Lorsqu’une telle diffusion atteint l’une de ces barrières, elle est partiellement réfléchie, avec une probabilité dépendant de la barrière. Nous obtenons tout d’abord une représentation du semi-groupe de transition du mouvement brownien biaisé avec dérive constante sous la forme d’une intégrale de contour, grâce à l’étude fine des propriétés complexes de ce semi-groupe. Cette représentation nous fournit alors une formule explicite et novatrice pour la densité de transition du mouvement brownien avec dérive constante biaisé en deux points. L’expression consiste en une série de fonctions gaussiennes et spéciales. Nous proposons une nouvelle méthode de simulation par rejet qui offre la possibilité d’échantillonner de façon exacte à partir d’une densité, même si elle n’est connue que par approximation, sans aucune autre erreur que celles de l’ordinateur. Nous appliquons ensuite ce nouveau schéma à la simulation d’un mouvement brownien avec dérive constante, biaisé en deux points. Chemin faisant, nous obtenons une borne uniforme pour le quotient de cette densité par rapport à la densité du mouvement Brownien avec la même dérive. Un autre objectif de la thèse est de développer un algorithme de simulation exacte pour les diffusions browniennes avec dérive admettant plusieurs sauts.


  • Résumé

    This thesis is focused on the study and the exact simulation of two classes of real-valued Brownian diffusions: multi-skew Brownian motions with constant drift and Brownian diffusions whose drift admits a finite number of jumps. A skew diffusion with several semipermeable barriers, called multi-skew diffusion, is a (Markovian) diffusion partially reflected at some barriers with a probability depending on that particular barrier. In this thesis we first obtain a contour integral representation for the transition semigroup of the multiskew Brownian motion with constant drift, based on a fine analysis of its complex properties. Thanks to this representation we write explicitly the transition densities of the two-skew Brownian motion with constant drift as an infinite series involving Gaussian functions and their tails. Then we propose a new useful generalization of the known rejection sampling method which allows to sample exactly from densities for which only an approximation is known. The originality of our algorithm lies in the fact that we finally sample directly from the law without any approximation, except the machine’s. As an application, we sample from the transition density of the two-skew Brownian motion with or without constant drift and provide also a uniform bound for the ratio between the latter and the transition density of the Brownian motion with constant drift. The second aim of this thesis is to develop an exact simulation algorithm for a Brownian diffusion whose drift admits several jumps. The theoretical method we give allows to deal with any finite number of discontinuities. Then we focus on the case of two jumps, using the transition densities obtained before.


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université des sciences et technologies de Lille. Service commun de la documentation. Bibliothèque virtuelle.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.