Homotopie rationnelle des espaces d'intersection

par Mathieu Klimczak

Thèse de doctorat en Mathématiques pures

Sous la direction de David Chataur et de Patrick Popescu-Pampu.

Soutenue le 29-06-2016

à Lille 1 , dans le cadre de École doctorale Sciences pour l'Ingénieur (Lille) , en partenariat avec Laboratoire Paul Painlevé (laboratoire) .


  • Résumé

    Cette thèse se concentre sur l'homotopie rationnelle des espaces d'intersection, espaces définis et développés par M. Banagl, et se décompose en trois parties :La première partie traite de la dualité de Poincaré associée aux espaces d'intersection. Étant donnée X une pseudovariété compacte, connexe et orientée de dimension n=4s à singularités isolées, les espaces d'intersections associés aux deux perversités milieux coïncident ImX ≈ InX. Cela nous permet de définir une forme d'intersection bilinéaire symétrique non dégénérée bHI : H2s(ImX) x H2s(ImX) ---> Q provenant d'une dualité de Poincaré généralisée définie sur l'homologie rationnelle des espaces d'intersection. Cette dualité ne provient pas de l'évaluation d'un cup produit contre une classe fondamentale. En utilisant le formalisme des espaces d'intersection nous montrons, dans le cas de la dimension paire, qu'il est possible de construire un espace à dualité de Poincaré rationnelle DP(X). Lorsque dim X = 4s la classe de Witt associée à la forme d'intersection bDP(X), définie via dualité de Poincaré, est la même que la classe Witt de bHI dans le groupe W(Q). Nous montrons aussi comment construire de tels espaces DP(X) de le cas d'une dimension impaire.La second partie développe la notion d'espace d'intersection lagrangien, notion introduite dans le premier chapitre pour construire DP(X) lorsque dim X = 2s+1. Nous montrons que l'homologie rationnelle de ces espaces interagit avec les homologies d'intersection milieu IHm(X) et IHn(X) au travers d'un diagramme commutatif que nous appelons un diagramme (s+1,s)-biréflexif. Dans une seconde partie, nous montrons que la notion de troncation homologique utilisée pour définir les espaces d'intersection peut être rendue fonctorielle lorsque l'on se concentre sur les espaces rationnels nilpotents de type fini.Pour finir, la troisième partie étudie l'interaction entre la théorie de Hodge mixte et la cohomologie rationnelle des espaces d'intersection pour X une variété algébrique projective complexe à singularités isolées. Nous montrons que la cohomologie de ces espaces d'intersection possède de façon naturelle une structure de Hodge mixte définie au niveau des modèles rationnels. Ces structures de Hodge mixte nous permettent alors de déduire des résultats sur la formalité des espaces d'intersection.

  • Titre traduit

    Rational homotopy theory of intersection spaces


  • Résumé

    This thesis is concerned with the rational homotopy theory of intersection spaces. It is composed of three parts, each of them being more or less independent. The first part concerns the notion of Poincaré duality associated to the intersection spaces. When X is a compact connected oriented pseudomanifold of dimension $n=4s$ with only isolated singularities, we then have a well defined middle perversities intersection spaces ImX ≈ InX. with a non degenerate symmetric intersection form bHI : H2s(ImX) x H2s(ImX) ---> QThis intersection form comes from a generalized Poincaré duality defined on intersection spaces, but is not defined as the evaluation of a cup product against a fundamental class. We construct rational Poincaré duality spaces DP(X) such that when dim X =4s the Witt class of the intersection form bDP(X), associated to DP(X) is the same that bHI in the Witt group W(Q). We also show how to construct Poincaré duality spaces DP(X) when n =2s+1.The second part develop the notion of Lagrangian intersection spaces introduced in the first part to construct DP(X) when dim X =2s+1. We show that the rational homology of these spaces lies between the two middle perversities intersection homology IHm(X) and IHn(X) in a sense that we call a (s+1,s)-bireflective diagram. In a second section we show that the notion of homology truncation can be made functorial when we deal with nilpotent rational spaces of finite type.The last part is devoted to the interaction between Hodge theory and the rational cohomology of intersection spaces when X is a complex projective algebraic varieties with only isolated singularities. We show that theses spaces carry a natural mixed Hodge structure at the algebraic models level. We then use these mixed Hodge structures to derive results about the formality of intersection spaces.


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