Optimisation auto-adaptative en environnement d’analyse multidisciplinaire via les modèles de krigeage combinés à la méthode PLS

par Mohamed Amine Bouhlel

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées et applications des mathématiques

Sous la direction de Joseph Morlier et de Nathalie Bartoli.

Le président du jury était Marcel Mongeau.

Le jury était composé de Joaquim R. R. A. Martins.

Les rapporteurs étaient Nicolas Gayton, Rodolphe Le Riche.


  • Résumé

    Les turbomachines aéronautiques sont composées de plusieurs roues aubagées dont la fonction estde transférer l’énergie de l’air au rotor. Les roues aubagées des modules compresseur et turbine sontdes pièces particulièrement sensibles car elles doivent répondre à des impératifs de performanceaérodynamique, de tenue mécanique, de tenue thermique et de performance acoustique. L’optimisation aéro-méca-acoustique ou aéro-thermo-mécanique des aubages consiste à chercher, pourun ensemble de formes aérodynamiques paramétrées (par plusieurs dizaines de variables), celleassurant le meilleur compromis entre la performance aérodynamique du moteur et la satisfactionde plusieurs dizaines de contraintes souvent contradictoires. Cette thèse introduit une méthode d’optimisation basée sur les métamodèles et adaptée à la grande dimension pour répondre à la problématique industrielle des aubages. Les contributions de cettethèse portent sur deux aspects : le développement de modèles de krigeage, et l’adaptation d’unestratégie d’optimisation pour la gestion du grand nombre de variables et de contraintes.La première partie de ce travail traite des modèles de krigeage. Nous avons proposé une nouvelleformulation du noyau de covariance permettant de réduire le nombre de paramètres du modèleafin d’accélérer sa construction. Une des limitations connues du modèle de krigeage concernel’estimation de ses paramètres. Cette estimation devient de plus en plus difficile lorsque nousaugmentons la dimension du phénomène à approcher. En particulier, la base de données nécessitedavantage de points et par conséquent la matrice de covariance du modèle du krigeage est de plusen plus coûteuse à inverser. Notre approche consiste à réduire le nombre de paramètres à estimer en utilisant la méthode de régression des moindres carrés partiels (PLS pour Partial Least Squares). Cette méthode de réduction dimensionnelle fournit des informations sur la relation linéaire entre les variables d’entrée et la variable de sortie. Ces informations ont été intégrées dans les noyaux du modèle de krigeage tout en conservant les propriétés de symétrie et de positivité des noyaux. Grâce à cette approche, la construction de ces nouveaux modèles appelés KPLS est très rapide étant donné le faible nombre de paramètres nécessaires à estimer. La validation de ces modèles KPLS sur des cas test académiques ou industriels a démontré leur qualité de prédiction équivalente voire même meilleure que celle des modèles de krigeage classiques. Dans le cas de noyaux de covariance de type exponentiel, laméthode KPLS peut être utilisée pour initialiser les paramètres du krigeage classique, afin d’accélérerla convergence de l’estimation des paramètres du modèle. La méthode résultante, notée KPLS+K, a permis d’améliorer la qualité des modèles dans le cas de fonctions fortement multimodales. La deuxième contribution de la thèse a consisté à développer une stratégie d’optimisation globale sous contraintes pour la grande dimension, en s’appuyant sur les modèles KPLS ou les modèlesKPLS+K. En effet, nous avons étendu la méthode d’optimisation auto-adaptative connue dans lalittérature sous le nom "Efficient Global Optimisation, EGO" pour gérer les problèmes d’optimisationsous contraintes en grande dimension. Différents critères d’enrichissement adaptatifs ont pu êtreexplorés. Cette stratégie a permis de retrouver l’optimum global sur des problèmes académiquesjusqu’à la dimension 50. La méthode proposée a été confrontée à deux types de problèmes industriels, le cas test MOPTA issu de l’industrie automobile (124 variables d’entrée et 68 fonctions contraintes) et le cas test Snecma des aubes de turbomachines (50 variables d’entrée et 31 fonctions contraintes). Les résultats ont permis de montrer la validité de la démarche ainsi que les limites de la méthode pour une application dans un cadre industriel.

  • Titre traduit

    Self-adaptive optimization of multidisciplinary analysis environment via Kriging models combined with the PLS method


  • Résumé

    Aerospace turbomachinery consists of a plurality of blades. Their main function is to transfer energybetween the air and the rotor. The bladed disks of the compressor are particularly important becausethey must satisfy both the requirements of aerodynamic performance and mechanical resistance.Mechanical and aerodynamic optimization of blades consists in searching for a set of parameterizedaerodynamic shape that ensures the best compromise solution between a set of constraints.This PhD introduces a surrogate-based optimization method well adapted to high-dimensionalproblems. This kind of high-dimensional problem is very similar to the Snecma’s problems. Ourmain contributions can be divided into two parts : Kriging models development and enhancementof an existing optimization method to handle high-dimensional problems under a large number ofconstraints. Concerning Kriging models, we propose a new formulation of covariance kernel which is able toreduce the number of hyper-parameters in order to accelerate the construction of the metamodel.One of the known limitations of Kriging models is about the estimation of its hyper-parameters.This estimation becomes more and more difficult when the number of dimension increases. Inparticular, the initial design of experiments (for surrogate modelling construction) requires animportant number of points and therefore the inversion of the covariance matrix becomes timeconsuming. Our approach consists in reducing the number of parameters to estimate using the Partial LeastSquares regression method (PLS). This method provides information about the linear relationshipbetween input and output variables. This information is integrated into the Kriging model kernelwhile maintaining the symmetry and the positivity properties of the kernels. Thanks to this approach,the construction of these new models called KPLS is very fast because of the low number of newparameters to estimate. When the covariance kernel used is of an exponential type, the KPLS methodcan be used to initialize parameters of classical Kriging models, to accelerate the convergence of theestimation of parameters. The final method, called KPLS+K, allows to improve the accuracy of themodel for multimodal functions. The second main contribution of this PhD is to develop a global optimization method to tacklehigh-dimensional problems under a large number of constraint functions thanks to KPLS or KPLS+Kmethod. Indeed, we extended the self adaptive optimization method called "Efficient Global Optimization,EGO" for high-dimensional problems under constraints. Several enriching criteria have been tested. This method allows to estimate known global optima on academic problems up to 50 inputvariables. The proposed method is tested on two industrial cases, the first one, "MOPTA", from the automotiveindustry (with 124 input variables and 68 constraint functions) and the second one is a turbineblade from Snecma company (with 50 input variables and 31 constraint functions). The results showthe effectiveness of the method to handle industrial problems.We also highlight some importantlimitations.


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