Processus de contact sur des graphes aléatoires

Contact process on random graphs

• Auteur / Autrice : Van Hao Can
• Direction : Bruno Schapira
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 01/06/2016
• Etablissement(s) : Aix-Marseille
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Président / Présidente : Etienne Pardoux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Arvind Singh
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Marc Lelarge, Thomas Mountford

Mots clés

Mots clés contrôlés

Processus stochastiques

Markov, Processus de

Développements asymptotiques

Graphes aléatoires

Mots clés libres

Processus de contact

Systèmes de particules en interaction

Graphes aléatoires

Metastabilité

Densité metastable

Temps de mort

Transition de phase

Contact process

Interacting particle systems

Random graphs

Metastability

Metastable density

Extinction time

Phase transition

Résumé

Le processus de contact est l'un des systèmes de particules en interaction les plus étudiés. Il peut s'interpréter comme un modèlepour la propagation d'un virus dans une population ou sur un réseau. L'objectif de cette thèse est d'étudier la relation entre la structure locale du réseau et le comportement global du processus sur le réseau tout entier.Le cadre typique dans lequel on se place est celui d’une suite de graphes aléatoires (Gₙ) convergeant localement vers un graphe limite G. On étudie alors le comportement asymptotique du temps d’extinction τn du processussur Gₙ; lorsqu’initialement tous les individus sont infectés. Nous montrons sur plusieurs exemples qu’il existe unetransition de phase lorsque λ - le taux d'infection du processus - traverse une valeur critique λc(G), qui ne dépend que de G. Plus précisément, pour certains modèles de graphes aléatoires comme le modèle de configuration, le graphe d'attachement préférentiel, le graphe géométrique aléatoire, le graphe inhomogène, nous montrons que τₙ est d'ordre soit logarithmique soit exponentiel; selon que λ est soit inférieur ou supérieur à λc(G). De plus, dans certains cas, nous montrons des résultats de métastablité: en régime sur-critique, τₙ divisé par son espérance converge en loi vers une variable aléatoire exponentielle de moyenne 1, et la densité des sites infectés reste stable (et non nulle) sur une période de temps d’ordre typiquement τn.

The contact process is one of the most studied interacting particle systems and is also often interpreted as a model for the spread of a virus in a population or a network. The aim of this thesis is to study the relationship of the local structure of the network and the global behavior of the contact process (the virus) on the whole network. Let (Gₙ) be a sequence of random graphs converging weakly to a graph G. Then we study τn, the extinction time of the contact process on Gₙ starting from full occupancy. We prove in some examples that there is a phase transition of τₙ when λ - the infection rate of the contact process crosses a critical value λc(G) depending only on G. More precisely, for some models of random graphs, such as the configuration model, preferential attachment graph, random geometric graph, inhomogeneous graph, we show that τₙ is of logarithmic (resp. exponential) order when λ ≺ λc(G) (resp. λ ≺ λc(G)). Moreover, in some cases we also prove metastable results: in the super-critical regime, τₙ divided by its expectation converges in law to an exponential random variable with mean 1, and the density of the infected sites is stable for a long time.