Représentations l-modulaires des groupes p-adiques : décomposition en blocs de la catégorie des représentations lisses de GL(m,D), groupe métaplectique et représentation de Weil

par Gianmarco Chinello

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Vincent Sécherre.

Soutenue le 07-09-2015

à Versailles-St Quentin en Yvelines , dans le cadre de Ecole doctorale sciences et technologies de Versailles (2010-2015) , en partenariat avec Laboratoire de Mathématiques de Versailles (laboratoire) et de Laboratoire de Mathématiques de Versailles UMR8100 / LMV (laboratoire) .

Le président du jury était Guy Henniart.

Le jury était composé de Jean-François Dat, Benjamin Schraen.

Les rapporteurs étaient Corinne Blondel, Shaun Stevens.


  • Résumé

    Cette thèse traite deux problèmes concernant la théorie des représentations `-modulairesd’un groupe p-adique. Soit F un corps local non archimédien de caractéristique résiduelle pdifférente de `. Dans la première partie, on étudie la décomposition en blocs de la catégoriedes représentations lisses `-modulaires de GL(n; F) et de ses formes intérieures. On veutramener la description d’un bloc de niveau positif à celle d’un bloc de niveau 0 (d’un autregroupe du même type) en cherchant des équivalences de catégories. En utilisant la théoriedes types de Bushnell-Kutzko dans le cas modulaire et un théorème de la théorie descatégories, on se ramene à trouver un isomorphisme entre deux algèbres d’entrelacement.La preuve de l’existence d’un tel isomorphisme n’est pas complète car elle repose sur uneconjecture qu’on énonce et qui est prouvée pour plusieurs cas. Dans une deuxième partieon généralise la construction du groupe métaplectique et de la représentation de Weil dansle cas des représentations sur un anneau intègre. On construit une extension centrale dugroupe symplectique sur F par le groupe multiplicatif d’un anneau intègre et on prouvequ’il satisfait les mêmes propriétés que dans le cas des représentations complexes.

  • Titre traduit

    l-modular representations of p-adic groups : block decomposition of the category of smooth representations of GL(m;D), metaplectic group and Weil representation


  • Résumé

    This thesis focuses on two problems on `-modular representation theory of p-adic groups.Let F be a non-archimedean local field of residue characteristic p different from `. In thefirst part, we study block decomposition of the category of smooth modular representationsof GL(n; F) and its inner forms.We want to reduce the description of a positive-levelblock to the description of a 0-level block (of a similar group) seeking equivalences of categories.Using the type theory of Bushnell-Kutzko in the modular case and a theorem ofcategory theory, we reduce the problem to find an isomorphism between two intertwiningalgebras. The proof of the existence of such an isomorphism is not complete because itrelies on a conjecture that we state and we prove for several cases. In the second part wegeneralize the construction of metaplectic group and Weil representation in the case ofrepresentations over un integral domain. We define a central extension of the symplecticgroup over F by the multiplicative group of an integral domain. We prove that it satisfiesthe same properties as in the complex case.


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