Quelques problèmes d'estimation et de contrôle optimal pour les processus stochastiques dans un cadre de modélisation des prix des marchés de l'électricité

par Pierre Gruet

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Huyên Pham.

Soutenue en 2015

à Sorbonne Paris Cité , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec Université Paris Diderot - Paris 7 (autre partenaire) .


  • Résumé

    Cette thèse porte sur l'étude de modèles mathématiques de l'évolution des prix sur les marchés de l'électricité, du point de vue de la statistique des processus et de celui du contrôle optimal stochastique. Dans une première partie, nous estimons les composantes de la volatilité d'un processus de diffusion multidimensionnel représentant l'évolution des prix sur le marché à terme de l'électricité. Sa dynamique est conduite par deux mouvements browniens. Nous cherchons à réaliser l'estimation efficacement en termes de vitesse de convergence, et de variance limite en ce qui concerne la partie paramétrique de ces composantes. Cela nécessite une extension de la définition usuelle de l'efficacité au sens de Cramér-Rao. Nos méthodes d'estimation sont fondées sur la variation quadratique réalisée du processus observé. Dans la deuxième partie, nous ajoutons des termes d'erreur de modèle aux observations du modèle précédent, pour pallie le problème de surdétermination qui survient lorsque la dimension du processus observé est supérieure à deux. Les techniques d'estimation sont toujours fondées sur la variation quadratique réalisée, et nous proposons d'autres outils afin de continuer à estimer les composantes de la volatilité avec la vitesse optimale en présence des termes d'erreur. Des tests numériques permettent de mettre en évidence la présence de telles erreurs dans nos données. Enfin, dans la dernière partie nous résolvons le problème d'un producteur qui intervient sur le marché infrajournalier de l'électricité afin de compenser les coûts liés aux rendements aléatoires de ses unités de production. Par ses actions, il exerce un impact sur le marché. Les prix et son anticipation de la demande de ses consommateurs sont modélisés par une diffusion à sauts. Les outils du contrôle optimal stochastique permettent de déterminer sa stratégie dans un problème approché. Nous donnons des conditions pour que cette stratégie soit très proche de l'optimalité dans le problème de départ, et l'illustrons numériquement.

  • Titre traduit

    Some problems of statistics and optimal control for stochastic processes in the field of electricity markets prices modeling


  • Résumé

    In this thesis, we study mathematical models for the representation of prices on the electricity markets, from the viewpoints of statistics of random processes and optimal stochastic control. In a first part, we perform estimation of the components of the volatility coefficient of a multidimensional diffusion process, which represents the evolution of prices in the electricity forward market. It is driven by two Brownian motions. We aim at achieving estimation efficiently in terms of convergence rate and, concerning the parametric part of those components, in terms of limit law. To do so, we must extend the usual notion of efficiency in the Cramér-Rao sense. Our estimation methods are based on realized quadratic variation of the observed process. In a second part, we add model error terms to the previous model, in order to tare for some kind of degeneration occurring in it as soon as the dimension of the observed process is greater than two. Our estimation methods are still based on realized quadratic variation, and we give other tools in order to keep on estimating the volatility components with the optimal rate when error terms are present. Then, numerical tests provide us with some evidence that such errors are present in the data. Finally, we solve the problem of a producer, which trades on the electricity intraday market in order to tope with the uncertainties on the outputs of his production units. We assume that there is market impact, so that the producer influences prices as he trades. The price and the forecast of the consumers' demand are modelled by jump diffusions. We use the tools of optimal stochastic control to determine the strategy of the producer in an approximate problem. We give conditions so that this strategy is close to optimality in the original problem, as well as numerical illustrations of that strategy.

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  • Détails : 1 vol. (X-186 p.)
  • Annexes : 77 réf.

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  • Cote : TS (2015) 199
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