Quelques modèles intégrables dans la classe d'universalité KPZ

• Auteur / Autrice : Guillaume Barraquand
• Direction : Sandrine Péché
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance en 2015
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Matrices aléatoires

Marches aléatoires (mathématiques)

Modèles mathématiques

Ordre et désordre (physique)

Probabilités

Mots clés libres

Systèmes de particules

Classe d'universalité KPZ

Loi de Tracy-Widom

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques modèles aléatoires exactement solubles dans la classe d'universalité KPZ. Le premier chapitre dresse un panorama des méthodes récentes pour étudier ce type de systèmes. On présente aussi les différents travaux qui constituent cette thèse, sans rentrer dans les détails techniques, en insistant plutôt sur l'intérprétation des résultats et les méthodes générales. Ensuite viennent trois chapitres, correspondant à autant d'articles publiés ou soumis pour publication. Le premier chapitre est une étude asymptotique du système de particules en interaction q-TASEP, perturbé par des particules lentes. On montre que le système obéit au même type de théorème limite que le TASEP, et on observe une transition de phase appelée transition BBP. Le deuxième chapitre, basé sur des travaux en collaboration avec Ivan Corwin, introduit de nouveaux processus d'exclusion exactement solubles. Nous vérifions notamment les prédictions de la classe d'universalité KPZ, et nous nous intéressons aussi au comportement moins universel de la première particule. Le troisième chapitre correspond également à un travail en collaboration avec Ivan Corwin. Nous introduisons une marche aléatoire en environnment aléatoire, qui a la particularité d'être exactement soluble. Nous montrons que les corrections au second ordre au principe de grandes déviations vérifié par la marche sont distribuées selon la loi de Tracy-Widom. On donne une interprétation probabiliste de ce théorème limite, et on montre également que le résultat se propage à température nulle.

This thesis is about exactly solvable stochastic models in the KPZ universality class. The first chapter provides an overview of the recent methods designed to study such systems. We also present the different works which constitute this thesis, leaving aside the technical details, but rather focusing on the interpretation of the results and the general methods that we use. The three next chapters each correspond to an article published or submitted for publication. The first chapter is an asymptotic study of the q-TASEP interacting particle system, when the system is perturbed by a few slower particles. We show that the system obeys to the same limit theorem as TASEP, and one observes the so-called BBP transition. The second chapter, based on a work in collaboration with Ivan Corwin, introduces new exactly solvable exclusion processes. We verify the predictions from KPZ scaling theory, and we also study the less universal behaviour of the first particle. The third chapter corresponds to a second work in collaboration with Ivan Corwin. We introduce a random walk in random environment, which turns out to be exactly solvable. We prove that the second order correction to the large deviation principle is Tracy-Widom distributed on a cube root scale. We give a probabilistic interpretation of this limit theorem, and show that the result also propagates at zero-temperature.