A new approximation framework for PGD-based nonlinear solvers

par Matteo Capaldo

Thèse de doctorat en Mécanique des solides

Sous la direction de Pierre Ladevèze.

Le président du jury était David Dureisseix.

Le jury était composé de Pierre Ladevèze, David Dureisseix, David Ryckelynck, Elias Cueto, David Néron, Pierre-Alain Guidault, Frédéric Legoll.

Les rapporteurs étaient David Ryckelynck, Elias Cueto.

  • Titre traduit

    Un nouveau cadre d'approximation dédié à la strategie de calcul PGD pour problèmes non-lineaires


  • Résumé

    Le but de ce travail est d'introduire un cadre d'approximation, la Reference Points Method, afin de réduire la complexité de calcul des opérations algébriques lorsqu'elles concernent des approximations à variables séparées dans le cadre de la Proper Generalized Decomposition.La PGD a été introduite dans [1] dans le cadre de la méthode LaTIn pour résoudre efficacement des équations différentielles non linéaires et dépendants du temps en mécanique des structures. La technique consiste à chercher la solution d'un problème dans une base d'ordre réduit (ROB) qui est automatiquement et à la volée générée par la méthode LaTIn. La méthode LaTIn est une stratégie itérative qui génère les approximations de la solution sur l'ensemble du domaine espace-temps-paramètres par enrichissements successifs. Lors d'une itération particulière, la ROB, qui a déjà été formée, est d'abord utilisée pour calculer un nouveau modèle réduit (ROM) et, donc, pour trouver une nouvelle approximation de la solution. Si la qualité de cette approximation ne suffit pas, la ROB est enrichie avec la génération d'un nouveau produit de fonctions PGD en utilisant un algorithme de type 'greedy'.Les techniques de réduction de modèle sont particulièrement efficaces lorsque le ROM a besoin d'être construit qu'une seule fois. Ce n'est pas le cas pour les techniques de réduction de modèle quand elles concernent des problèmes non linéaires. En effet, dans un tel cas, les opérateurs qui sont impliqués dans la construction du ROM varient au cours du processus itératif et des calculs préliminaires ne peuvent pas être effectués à l'avance pour accélérer le processus 'online'.Par conséquent, la construction du ROM est un élément coûteux de la stratégie de calcul en terme de temps de calcul. Il en découle la nécessité d'évaluer, à chaque itération, la fonction non linéaire de grande dimension (et éventuellement sa jacobienne) et ensuite sa projection pour obtenir les opérateurs réduits. Cela représente un point de blocage des stratégies de réduction de modèle dans le cadre non linéaire. Le présent travail a comme but une réduction ultérieure du coût de calcul, grâce à l'introduction d'un nouveau cadre de rapprochement dédiée à la stratégie de calcul LaTIn-PGD. Il est basé sur la notion de temps, de points et de paramètres de référence et permet de définir une version compressée des données. Comparé à d'autres techniques similaires [3,4] cela ne se veut pas une technique d'interpolation, mais un cadre algébrique qui permet de donner une première approximation, peu coûteuse, de toutes les quantités sous une forme à variable séparés par des formules explicites. L'espace de données compressées présente des propriétés intéressantes qui traitent les opérations algébriques élémentaires. Le RPM est introduit dans le solveur LaTIn-PGD non linéaire pour calculer certaines opérations répétitives. Ces opérations sont liées à la résolution du problème du temps / paramètre qui implique la mise à jour de l'opérateur tangent et la projection de ce dernier sur la base réduite. La RPM permet de simplifier et de réduire le nombre d'opérations nécessaires.[1] Ladevèze P., Sur une famille d’algorithmes en mécanique des structures, Comptes Rendus Académie des Sciences. Paris. Ser. II 300, pp.41-44, 1985.[2] Chinesta, F., Ladevèze, P., and Cueto, E. A short review on model order reduction based on proper generalized decomposition. Archives of Computational Methods in Engineering, 18, pp.395-404, 2011.[3] Barrault M., Maday Y., Nguyen N., Patera A., An ’empirical interpolation’ method: application to efficient reduced-basis discretization of partial differential equations, Comptes Rendus Académie des Sciences. Paris. Ser. I, 339, pp. 667-672, 2004.[4] Chaturentabut S., Sorensen D., Nonlinear model reduction via discrete empirical interpolation, Society for Industrial and Applied Mathematics 32(5), pp.2737-2764, 2010.


  • Résumé

    The aim of this work is to introduce an approximation framework, called Reference Points Method (RPM), in order to decrease the computational complexity of algebraic operations when dealing with separated variable approximations in the Proper Generalized Decomposition (PGD) framework.The PGD has been introduced in [1] in the context of the LATIN method to solve efficiently time dependent and/or parametrized nonlinear partial differential equations in structural mechanics (see, e.g., the review [2] for recent applications). Roughly, the PGD technique consists in seeking the solution of a problem in a relevant Reduced-Order Basis (ROB) which is generated automatically and on-the-fly by the LATIN method. This latter is an iterative strategy which generates the approximations of the solution over the entire time- space-parameter domain by successive enrichments. At a particular iteration, the ROB, which has been already formed, is at first used to compute a projected Reduced-Order Model (ROM) and find a new approximation of the solution. If the quality of this approximation is not sufficient, the ROB is enriched by determining a new functional product using a greedy algorithm.However, model reduction techniques are particularly efficient when the ROM needs one construction only. This is not the case for the model reduction techniques when they are addressed to nonlinear problems. Indeed, in such a case, the operators which are involved in the construction of the ROM change all along the iterative process and no preliminary computations can be performed in advance to speed up the online process. Hence, the construction of the ROM is an expensive part of the calculation strategy in terms of CPU. It ensues from the need to evaluate the high-dimensional nonlinear function (and eventually its Jacobian) and then to project it to get the low-dimensional operators at each computational step of a solution algorithm. This amounts to being the bottleneck of nonlinear model reduction strategies.The present work is then focused on a further reduction of the computational cost, thanks to the introduction of a new approximation framework dedicated to PGD-based nonlinear solver. It is based on the concept of reference times, points and parameters and allows to define a compressed version of the data. Compared to other similar techniques [3,4] this is not an interpolation technique but an algebraic framework allowing to give an inexpensive first approximation of all quantities in a separated variable form by explicit formulas. The space of compressed data shows interesting properties dealing the elementary algebraic operations. The RPM is introduced in the PGD-based nonlinear solver to compute some repetitive operations. These operations are related to the resolution of the time/parameter problem that involves the update of the tangent operator (for nonlinear problems) and the projection of this latter on the Reduced Order Basis. For that the RPM allows to simplify and reduce the number of operations needed.[1] Ladevèze P., Sur une famille d’algorithmes en mécanique des structures, Comptes Rendus Académie des Sciences. Paris. Ser. II 300, pp.41-44, 1985.[2] Chinesta, F., Ladevèze, P., and Cueto, E. A short review on model order reduction based on proper generalized decomposition. Archives of Computational Methods in Engineering, 18, pp.395-404, 2011.[3] Barrault M., Maday Y., Nguyen N., Patera A., An ’empirical interpolation’ method: application to efficient reduced-basis discretization of partial differential equations, Comptes Rendus Académie des Sciences. Paris. Ser. I, 339, pp. 667-672, 2004.[4] Chaturentabut S., Sorensen D., Nonlinear model reduction via discrete empirical interpolation, Society for Industrial and Applied Mathematics 32(5), pp.2737-2764, 2010.


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