Analyse mathématique et numérique des modèles Pn pour la simulation de problèmes de transport de photons

par Xavier Valentin

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Pauline Lafitte-Godillon et de Cédric Enaux.

Soutenue le 17-12-2015

à l'Université Paris-Saclay (ComUE) , dans le cadre de École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....) , en partenariat avec CentraleSupélec (2015-....) (établissement opérateur d'inscription) et de Centre national de la recherche scientifique (France) (laboratoire) .

Le président du jury était Bruno Després.

Le jury était composé de Pauline Lafitte-Godillon, Cédric Enaux, Bruno Després, François Bouchut, Mohammed Lemou.

Les rapporteurs étaient Xavier ‎Blanc‎, Christophe Berthon.


  • Résumé

    La résolution numérique directe des problèmes de transport de photons en interaction avec un milieu matériel est très coûteuse en mémoire et temps CPU. Pour pallier ce problème, une méthode consiste à construire des modèles réduits dont la résolution est moins coûteuse. La littérature abonde de ce genre de modèles : modèles probabilistes (Monte-Carlo), modèles aux moments (M₁, PN), modèles aux ordonnées discrètes (SN), modèles de diffusion... Dans cette thèse, nous nous intéressons aux modèles PN dans lesquels l'opérateur de transport est approché par projections sur une base tronquée d'harmoniques sphériques. Ces modèles ont l'avantage d'être arbitrairement précis sur la dimension angulaire et ne présentent pas les défauts connus des autres méthodes (bruit stochastique, "effets de raies") pouvant briser les éventuelles symétries du problème. Ce dernier point est capital pour la simulation d'expériences de fusion par confinement inertiel (FCI) où la symétrie sphérique joue un rôle important dans la précision des résultats. Nous étudions donc dans cette thèse la structure mathématique des modèles PN ainsi que leur discrétisation dans le cas d'une géométrie 1D sphérique.Nous commençons par le cas du transport linéaire dans le vide. Même dans ce cas simple, les équations du modèle PN contiennent des termes sources d'origine géométrique dont la discrétisation s'avère délicate. Jusqu'à présent, les différents schémas utilisés étaient insatisfaisants pour les raisons suivantes : (1) mauvais comportement au voisinage de r = 0 (phénomène de "flux-dip"), (2) non préservation des équilibres stationnaires, (3) pas de preuve formelle de stabilité. À la lumière de récents travaux, nous proposons une nouvelle discrétisation qui capture exactement les états d'équilibres. Nous démontrons en particulier la stabilité en norme L² du schéma. Nous étendons par la suite ce schéma au cas du transport de photons dans un milieu matériel figé et nous nous intéressons au comportement du schéma en limite diffusion (propriété "asymptotic-preserving").Dans un second temps, nous nous intéressons au couplage entre rayonnement et hydrodynamique. Devant l'absence de consensus sur les modèles "transport" d'hydrodynamique radiative issus de la littérature, nous établissons une étude comparative de ceux-ci basée sur leurs propriétés mathématiques. Nous nous intéressons particulièrement aux propriétés suivantes : (1) conservation de l'énergie et de l'impulsion, (2) précision des effets comobiles, (3) existence d'une entropie mathématiques compatible et (4) restitution de la limite diffusion. Notre étude se réduit aux modèles dits "mixed-frame" et une attention particulière est toujours portée sur l'approximation "PN" de l'opérateur de transport. Nous identifions des défauts (conservation ou entropie) sur des modèles existants et proposons une correction entropique conduisant à un modèle PN satisfaisant toutes les propriétés mathématiques listées ci-dessus.

  • Titre traduit

    Mathematical and numerical analysis of Pn models for photons transport problems


  • Résumé

    Computational costs for direct numerical simulations of photon transport problemsare very high in terms of CPU time and memory. One way to tackle this issue is todevelop reduced models that a cheaper to solve numerically. There exists number of these models : moments models, discrete ordinates models (SN), diffusion-like models... In this thesis, we focus on PN models in which the transport operator is approached by mean of a truncated development on the spherical harmonics basis. These models are arbitrary accurate in the angular dimension and are rotationnaly invariants (in multiple space dimensions). The latter point is fundamental when one wants to simulate inertial confinment fusion (ICF) experiments where the spherical symmetry plays an important part in the accuracy of the numerical solutions. We study the mathematical structure of the PN models and construct a new numerical method in the special case of a one dimensionnal space dimension with spherical symmetry photon transport problems. We first focus on a linear transport problem in the vacuum. Even in this simple case, it appears in the PN equations geometrical source terms that are stiff in the neighborhood of r = 0 and thus hard to discretise. Existing numerical methods are not satisfactory for multiple reasons : (1) unaccuracy in the neighborhood of r = 0 ("flux-dip"), (2) do not capture steady states (well-balanced scheme), (3) no stability proof. Following recent works, we develop a new well-balanced scheme for which we show the L² stability. We then extend the scheme for photon transport problems within a no moving media, the linear Boltzmann equation, and interest ourselves on its behavior in the diffusion limit (asymptotic-preserving property). In a second part, we consider radiation hydrodynamics problems. Since modelisation of these problems is still under discussion in the litterature, we compare a set of existing models by mean of mathematical analysis and establish a hierarchy. For each model, we focus on the following mathematical properties : (1) energy and impulsion conservation, (2) accuracy of the comobile effects, (3) existence of a mathematical entropy and (4) behavior in the diffusion limit. Our study reduces to « laboratory frame » models and we are still interested in the PN approximation of the transport operator. We identify defects in entropy structure of existing models and propose an entroy correction which leads to PN-based radiation hydrodynamics models which satisfy all the properties listed above.


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