Théorèmes limites de la théorie des probabilités dans les systèmes dynamiques

par Davide Giraudo

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Dalibor Volny.

Le président du jury était Pierre Calka.

Les rapporteurs étaient Richard C. Bradley, Jérôme Dedecker.


  • Résumé

    Cette thèse se consacre aux théorèmes limites pour les suites et les champs aléatoires strictement stationnaires, principalement sur le théorème limite central et sa version fonctionnelle, appelée principe d'invariance. Dans un premier temps, nous montrons à l'aide d'un contre-exemple que pour les processus strictement stationnaires β-mélangeants, le théorème limite central peut avoir lieu sans que ce ne soit le cas pour la version fonctionnelle. Nous montrons également que le théorème limite central n'a pas nécessairement lieu pour les sommes partielles d'une suite strictement stationnaire β-mélangeante à valeurs dans un espace de Hilbert de dimension infinie, même en supposant l'uniforme à intégrabilité de la suite des sommes partielles normalisées. Puis nous étudions le principe d'invariance dans l'espace des fonctions hölderiennes. Nous traitons le cas des suites strictement stationnaires tau-dépendantes (au sens de Dedecker, Prieur, 2005) ou rho-mélangeantes. Nous donnons également une condition suffisante sur la loi d'une suite strictement stationnaire d'accroissements d'une martingale et la variance quadratique garantissant le principe d'invariance dans l'espace des fonctions hölderiennes, et nous démontrons son optimalité à l'aide d'un contre-exemple. Ensuite, nous déduisons grâce à une approximation par martingales des conditions dans l'esprit de celles de Hannan (1979), et Maxwell et Woodroofe (2000). Nous discutons ensuite de la décomposition martingale/cobord. Dans le cas des suites, nous fournissons des conditions d'intégrabilité sur la fonction de transfert et le cobord pour que ce dernier ne perturbe pas le principe d'invariance, la loi des logarithmes itérés ou bien la loi forte des grands nombres si ceux-ci ont lieu pour la martingale issue de la décomposition. Dans le cas des champs, nous formulons une condition suffisante pour une décomposition ortho-martingale/cobord. Enfin, nous établissons des inégalités sur les queues des maxima des sommes partielles d'un champ aléatoire de type ortho-martingale ou bien d'un champ qui s'exprime comme une fonctionnelle d'un champ i. I. D. Ces inégalités permettent d'obtenir un principe d'invariance dans les espaces hölderiens pour ces champs aléatoires.


  • Résumé

    This thesis is devoted to limit theorems for strictly stationary sequences and random fields. We concentrate essentially on the central limit theorem and its invariance principle. First, we show with the help of a counter-example that for a strictly stationary absolutely regular sequence, the central limit theorem may hold but not the invariance principle. We also show that the central limit theorem does not take place for partial sums of a Hilbert space valued, strictly stationary and absolutely regular sequence, even if we assume that the normalized partial sums form a uniformly integrable family. Second, we investigate the Holderian invariance principle. We treat the case of tau-dependent (Dedecker, Prieur, 2005) and rho-mixing strictly stationary sequences. We provide a sufficient condition on the law of a strictly stationary martingale difference sequence and the quadratic variance which guarantee the invariance principle in a Hölder space. We construct a counter-example which shows its sharpness. We derive conditions in the spirit of Hannan (1979), and Maxwell and Woodroofe (2000) by a martingale approximation. We then discuss the martingale/coboundary decomposition. In dimension one, we provide sharp integrability conditions on the transfer function and the coboundary for which the later does not spoil the invariance principle, the law of the iterated logarithm or the strong law of large numbers if these theorems take place for the martingale involved in the decomposition. We also provide a sufficient condition for an orthomartingale/coboundary decomposition for strictly stationary random fields. Lastly, we establish tails inequalities for orthomartingale and Bernoulli random fields. We prove an invariance principle in Hölder spaces for these random fields using such inequalities.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (208 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr. 163 références

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université de Rouen. Service commun de la documentation. Section sciences site Madrillet.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 15/ROUE/S056
  • Bibliothèque : Laboratoire de mathématiques Raphae͏̈l Salem. Bibliothèque de recherche en mathématiques.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : GIR 18285
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