Dynamique des tourbillons pour quelques modèles de transport non-linéaires

par Zineb Hassainia

Thèse de doctorat en Mathématiques et applications

Sous la direction de Taoufik Hmidi.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude théorique de quelques modèles d'évolution non-linéaires issus de la mécanique des fluides. Nous distinguons trois parties indépendantes. La première partie de la thèse traite essentiellement de l'existence des poches de tourbillon en rotation uniforme (appelées aussi V-states) pour un modèle quasi-géostrophique non visqueux. Notre étude est répartie sur deux chapitres où les poches présentent des structures topologiques différentes. Dans le premier chapitre nous étudions le cas simplement connexe et nous validons l'existence de ces structures dans un voisinage du tourbillon de Rankine en utilisant des techniques de bifurcation. Dans le deuxième chapitre nous abordons le cas doublement connexe où la poche admet un seul trou. Plus précisément, proche d'un anneau donné, nous décrivons cette famille par des branches dénombrables bifurquant de cet anneau à certaines valeurs explicites des vitesses angulaires liées aux fonctions de Bessel. Notre étude théorique a été complétée par des simulations numériques portant sur les V-states limites et un bon nombre de constatations ont été formulées ouvrant la porte à de nouvelles perspectives de recherche. La seconde partie concerne l'étude du problème de Cauchy pour le système de Boussinesq non visqueux 2D avec des données initiales de type Yudovich. Le problème est dans un certain sens critique à cause de quelques termes comportant la transformée de Riesz dans la formulation tourbillon-densité. Nous donnons une réponse positive pour une sous-classe comprenant les poches de tourbillon régulières et singulières. Dans la dernière partie nous analysons le problème de la limite incompressible pour les équations d'Euler isentropiques 2D associées à des données initiales très mal préparées et pour lesquelles les tourbillons ne sont pas forcément bornés mais appartiennent plutôt à des espaces de type ''BMO'' à poids. On utilise principalement deux ingrédients: d'un côté les estimations de Strichartz pour contrôler la partie acoustique. D'un autre côté, on se sert de la structure de transport compressible du tourbillon et on démontre une estimation de propagation linéaire dans l'esprit d'un travail récent de Bernicot et Keraani mené dans le cas incompressible.

  • Titre traduit

    Vortex dynamics for some non-linear transport models


  • Résumé

    In this dissertation, we are concerned with the study of some non-linear evolution models arising in fluid mechanics. We distinguish three independent parts. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case. The first part of the thesis deals with the existence of the rotating vortex patches (called also V-states) for an inviscid quasi-geostrophic model. Our study is divided into two chapters dealing with different topological structures of the V-states. In the first chapter we study the simply connected case and we prove the existence of such structures in a neighborhood of the Rankine vortices by using the bifurcation theory. In the second chapter we discuss the doubly connected case where the patches admit only one hole. More precisely, close to a given annulus we describe this family by countable branches bifurcating from this annulus at some explicit angular velocities related to Bessel functions of the first kind. Our theoretical study was completed by numerical simulations on the limiting V-states and a number of interesting numerical observation were formulated opening new research perspectives. The second part of the thesis concerns the local well-posedness theory for the inviscid Boussinesq system with rough initial data. The problem is in some sense critical due to some terms involving Riesz transforms in the vorticity-density formulation. We give a positive answer for a special sub-class of Yudovich data including smooth and singular vortex patches. In the last part we address the problem of the incompressible limit for the 2D isentropic fluids associated to ill-prepared initial data and for which the vortices are not necessarily bounded and belong to some weighted BMO spaces. We mainly use two ingredients: On one hand, the Strichartz estimates to control the acoustic part and prove that it does not contribute for low Mach number. On the other hand, we use the transport compressible structure of the vorticity and we establish a linear propagation estimate in the spirit of a recent work of Bernicot and Keraani conducted in the incompressible case.


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