hp-Adaptive Simulation and Inversion of Magnetotelluric Measurements

par Julen Alvarez Aramberri

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Hélène Barucq et de David Pardo.

Le jury était composé de David Pardo.

  • Titre traduit

    Simulation et inversion des mesures magnétotelluriques par hp adaptabilité


  • Résumé

    La magnéto-tellurique (MT) (Cagniard 1953, Tikhonov 1950) est une technique d'exploration de la Terre basée sur des mesures de champs électromagnétiques (EM). Une source naturelle (non artificielle) harmonique en temps et située dans l'ionosphère (Weaver 1994) produit un champ EM régi par les équations de Maxwell. Les champs électromagnétiques sont enregistrés par plusieurs récepteurs placés sur la surface de la Terre. Ces mesures sont utilisées pour produire une image du sous-sol à partir d'un procédé d'inversion utilisant des méthodes numériques. Nous utilisons la méthode hp-FEM résultant d'une extension du travail de Demkowicz 2005. Nous avons développé un logiciel qui résout, pour la première fois, le problème MT avec des éléments finis auto-adaptatifs. La méthode hp-FEM permet des raffinements locaux, à la fois en taille h et en ordre p sur les éléments, ce qui est un avantage notoire puisque la combinaison de ces deux types de critères permet de mieux capter la présence de singularités, fournissant ainsi des erreurs de discrétisation faible. C'est donc une méthode très précise dont la convergence est exponentielle (Gui and Babuska 1986, Babuska and Guo 1996). En raison des défis d'implémentation encore non résolus (Demkowicz et al. 2002) et de la complexité technique des calculs hp-FEM en 3D, nous nous limitons, dans ce travail, à des calculs en 1D et 2D.Le domaine de calcul est tronqué par un matériau absorbant (Perfectly Matched Layer PML, Berenger 1994), qui est conçu pour s'adapter automatiquement aux propriétés physiques des matériaux. En particulier, il s'ajuste efficacement à l'interface air-sol, où le contraste entre la conductivité des matériaux atteint jusqu'à seize ordres de grandeur. Dans cette thèse, nous présentons également des résultats préliminaires pour la mise en place d'une technique dimensionnelle adaptative plus connue sous le nom de DAM (Dimensionally Adaptive Method (DAM)). Lorsque la distribution de la résistivité du sous-sol dépend de multiples variables spatiales, une analyse correcte de la dimensionnalité (Ledo 2005, Martí et al. 2009, Weaver and Agarwal 2000) rend parfois possible de considérer les différentes régions avec des dimensions spatiales différentes. Par exemple, il est parfois possible d’interpréter la distribution comme une formation unidimensionnelle plus quelques hétérogénéités en 2D (ou 3D). Basée sur cette interprétation, la DAM tire profit d’une telle situation. Ainsi, l'idée principale de cette méthode est d'effectuer l'adaptativité sur la dimension spatiale en commençant par un problème de faible dimension et en utilisant les résultats obtenus pour minimiser le coût des problèmes de dimension supérieure. Nous commençons l'inversion avec un modèle 1D. Les résultats de ce problème d'inversion 1D sont utilisés comme information a priori sur les modèles de dimension supérieure. Un avantage fondamental de cette approche est que nous pouvons utiliser les solutions des problèmes de dimension inférieure précédemment calculées comme composantes du terme de régularisation associé à un problème de dimension supérieure afin d'augmenter la robustesse de l'inversion. Cette thèse propose également une analyse numérique rigoureuse de divers aspects des problèmes MT. En particulier, nous avons: (a) étudié l'effet de la source, (b) effectué une analyse fréquentielle de sensibilité, (c) illustré l'augmentation du taux de convergence lorsque l'adaptativité hp est employée, (d) séparé les effets 1D et 2D dans la solution numérique et (e) exploré l'intérêt de considérer différentes variables pour effectuer l'inversion.


  • Résumé

    The magnetotelluric (MT) method is a passive exploration technique that aims at estimating the resistivity distribution of the Earth's subsurface, and therefore at providing an image of it. This process is divided into two different steps. The first one consists in recording the data. In a second step, recorded measurements are analyzed by employing numerical methods. This dissertation focuses in this second task. We provide a rigorous mathematical setting in the context of the Finite Element Method (FEM) that helps to understand the MT problem and its inversion process. In order to recover a map of the subsurface based on 2D MT measurements, we employ for the first time in Mts a multi-goal oriented self adaptive hp-Finite Element Method (FEM). We accurately solve both the full formulation as well as a secondary field formulation where the primary field is given by the solution of a 1D layered media. To truncate the computational domain, we design a Perfectly Matched Layer (PML) that automatically adapts to high-contrast material properties that appear within the subsurface and on the air-ground interface. For the inversion process, we develop a first step of a Dimensionally Adaptive Method (DAM) by considering the dimension of the problem as a variable in the inversion. Additionally, this dissertation supplies a rigorous numerical analysis for the forward and inverse problems. Regarding the forward modelization, we perform a frequency sensitivity analysis, we study the effect of the source, the convergence of the hp-adaptivity, or the effect of the PML in the computation of the electromagnetic fields and impedance. As far as the inversion is concerned, we study the impact of the selected variable for the inversion process, the different information that each mode provides,and the gains of the DAM approach.


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