Theorie L^p pour le système de boussinesq

par Paul Andres Acevedo Tapia

Thèse de doctorat en Mathématiques Appliquées

Sous la direction de Cherif Amrouche.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l’étude du système de Boussinesq stationnaire:-νΔu+(u⋅∇)u+∇π=θg, div u=0,dans Ω(1a)-κΔθ+u⋅∇θ=h,dans Ω (1b)où Ω⊂R^3 est un ouvert, borné et connexe; les inconnues du système sont u,π et θ: la vitesse, la pression et la température du fluide, respectivement; ν>0 est la viscosité cinématique du fluide, κ>0 est la diffusivité thermique du fluide, g est l’accélération de la pesanteur et h est une source de chaleur appliquée au fluide.L’objectif de cette thèse est l’étude de la théorie L^p pour le système de Boussinesq en considérant deux différents types de conditions aux limites du champ de vitesse. En effet, dans une première partie, nous considérons une condition de Dirichlet non homogèneu=u_b, sur Γ (2)où Γ désigne la frontière du domaine. Dans une deuxième partie, nous considérons une condition de Navier non homogèneu⋅n=0,2[D(u)n]_τ+αu_τ=a,sur Γ(3)où D(u)=1/2 (∇u+(∇u)^T ) est le tenseur de déformation associé au champ de vitesse u, n est le vecteur normal unitaire extérieur, τ est le correspondant vecteur tangent unitaire, α et a sont une fonction scalaire de friction et un champ de vecteur tangentiel donnés sur la frontière, respectivement. De plus, la condition aux limites pour la température sera, dans les deux premières parties, une condition aux limites de Dirichlet non homogèneθ=θ_b, sur Γ. (4)Alors, premièrement, nous étudions l’existence et l’unicité d’une solution faible pour le problème (1), (2) et (4) dans le cas hilbertien. Également, l’existence de solutions généralisées pour p≥3/2 et des solutions fortes pour 1<p<∞ est démontrée. De plus, l’existence et l’unicité de la solution très faible sont étudiées. Il est intéressant de noter que puisque une condition de Dirichlet non homogène est considérée pour le champ de vitesse, le fait que la frontière du domaine pourrait être non-connexe joue un rôle fondamental puisque cela apparait de manière explicite dans les hypothèses des principaux résultats.D’autre part, dans la deuxième partie, nous étudions l’existence de solutions faibles dans le cas hilbertien, ainsi que l’existence de solutions généralisées pour p>2 et des solutions fortes pour p≥6/5 pour le problème (1), (3) et (4). Notez que l’hypothèse d’une frontière non-connexe, mentionnée précédemment, ne figurait pas dans cette partie du travail en raison de la restriction d’imperméabilité de la frontière.Enfin, dans la dernière partie de cette thèse, nous étudions la théorie L^p pour les équations de Stokes avec la condition de Navier (3). Plus précisément, nous examinons la régularité W^(1,p) pour p≥2 et la régularité W^(2,p) pour p≥6/5.Mots clés: système de Boussinesq; régularité L^p; solutions faibles; solutions fortes; solutions très faibles

  • Titre traduit

    L^p-theory for the boussinesq system


  • Résumé

    This thesis is dedicated to the study of the stationary Boussinesq system:-νΔu+(u⋅∇)u+∇π=θg, div u=0,in Ω(1a)-κΔθ+u⋅∇θ=h,in Ω (1b)where Ω⊂R^3 is an open bounded connected set; u,π and θ are the velocity field, pressure and temperature of the fluid, respectively, and stand for the unknowns of the system; ν>0 is the kinematic viscosity of the fluid, κ>0 is the thermal diffusivity of the fluid, g is the gravitational acceleration and h is a heat source applied to the fluid.The aim of this thesis is the study of the L^p-theory for the stationary Boussinesq system in the context of two different types of boundary conditions for the velocity field. Indeed, in the first part of the thesis, we will consider a non-homogeneous Dirichlet boundary conditionu=u_b, on Γ (2)where Γ denotes the boundary of the domain; meanwhile in the second part, the velocity field will be prescribed through a non-homogeneous Navier boundary conditionu⋅n=0,2[D(u)n]_τ+αu_τ=a,on Γ(3)where D(u)=1/2 (∇u+(∇u)^T ) is the strain tensor associated with the velocity field u, n is the unit outward normal vector, τ is the corresponding unit tangent vector, α and a are a friction scalar function and a tangential vector field defined both on the boundary, respectively. Further, the boundary condition for the temperature will be, in the first two parts of the thesis, a non-homogeneous Dirichlet boundary conditionθ=θ_b, on Γ. (4)Then, firstly, we study the existence and uniqueness of the weak solution for the problem (1), (2) and (4) in the hilbertian case. Also, the existence of generalized solutions for p≥3/2 and strong solutions for 1<p<∞ is showed. Furthermore, the existence and uniqueness of the very weak solution is studied. It is worth to note that because a non-homogeneous Dirichlet boundary condition is considered for the velocity field, the fact that the boundary of the domain could be non-connected plays a fundamental role since it appears in an explicit way in the assumptions of some of the main results.In the second part, we study the existence of weak solutions in the hilbertian case, as well as the existence of generalized solutions for p>2 and strong solutions for p≥6/5 for the problem (1), (3) and (4). Note that the assumption of a non-connected boundary, which was mentioned before, will not appear here due to the impermeability restriction on the boundary.Finally, in the last part of this thesis, we study the L^p-theory for the Stokes equations with Navier boundary condition (3). Specifically, we deal with the W^(1,p)-regularity for p≥2 and the W^(2,p)-regularity for p≥6/5.Keywords: Boussinesq system; L^p-regularity; weak solutions; strong solutions; very weak solutions


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