Un modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée

par Matthias Gorny

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Raphaël Cerf.

Le président du jury était Arnaud Le Ny.

Le jury était composé de Raphaël Cerf, Arnaud Le Ny, Giambattista Giacomin, Francis Comets, Thomas Duquesne.

Les rapporteurs étaient Giambattista Giacomin, Paolo Dai Pra.


  • Résumé

    Dans leur célèbre article de 1987, les physiciens Per Bak, Chao Tang et Kurt Wiesenfeld ont montré que certains systèmes complexes, composés d'un nombre important d'éléments en interaction dynamique, évoluent vers un état critique, sans intervention extérieure. Ce phénomène, appelé criticalité auto-organisée, peut être observé empiriquement ou simulé par ordinateur pour de nombreux modèles. Cependant leur analyse mathématique est très ardue. Même des modèles dont la définition est apparemment simple, comme les modèles décrivant la dynamique d'un tas de sable, ne sont pas bien compris mathématiquement. Le but de cette thèse est la construction d'un modèle de criticalité auto-organisée, qui est aussi simple que possible, et qui est accessible à une étude mathématique rigoureuse. Pour cela, nous modifions le modèle d'Ising Curie-Weiss généralisé en introduisant un contrôle automatique du paramètre de température. Pour une classe de distributions symétriques satisfaisant une certaine condition d'intégrabilité, nous montrons que la somme Sn des variables aléatoires du modèle a le comportement typique du modèle d'Ising Curie-Weiss généralisé critique: les fluctuations sont d'ordre n^(3/4) et la loi limite est C exp(- lambda*x^4) dx, où C et lambda sont des constantes strictement positives. Notre étude nous a menés à généraliser ce modèle dans plusieurs directions : cas de la dimension supérieure, fonctions d'interactions plus générales, extension à des auto-interactions menant à des fluctuations d'ordre n^(5/6). Nous étudions aussi des modèles dynamiques dont la distribution invariante est la loi de notre modèle d'Ising Curie-Weiss de criticalité auto-organisée.

  • Titre traduit

    A Curie-Weiss model of self-organized criticality


  • Résumé

    In their famous 1987 article, Per Bak, Chao Tang and Kurt Wiesenfeld showed that certain complex systems, composed of a large number of dynamically interacting elements, are naturally attracted by critical points, without any external intervention. This phenomenon, called self-organized criticality, can be observed empirically or simulated on a computer in various models. However the mathematical analysis of these models turns out to be extremely difficult. Even models whose definition seems simple, such as the models describing the dynamics of a sandpile, are not well understood mathematically. The goal of this thesis is to design a model exhibiting self-organized criticality, which is as simple as possible, and which is amenable to a rigorous mathematical analysis. To this end, we modify the generalized Ising Curie-Weiss model by implementing an automatic control of the inverse temperature. For a class of symmetric distributions whose density satisfies some integrability conditions, we prove that the sum Sn of the random variables behaves as in the typical critical generalized Ising Curie-Weiss model: the fluctuations are of order n^(3/4) and the limiting law is C exp(- lambda*x^4) dx where C and lambda are suitable positive constants. Our study led us to generalize this model in several directions: the multidimensional case, more general interacting functions, extension to self-interactions leading to fluctuations with order n^(5/6). We also study dynamic models whose invariant distribution is the law of our Curie-Weiss model of self-organized criticality.


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