Construction d’une catégorie d’espaces de Berkovich sur Z et étude locale de leur topologie

par Thibaud Lemanissier

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Antoine Ducros.

Soutenue le 02-10-2015

à Paris 6 , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec Institut de Mathématiques de Jussieu - Paris Rive Gauche (laboratoire) .

Le jury était composé de Antoine Chambert-Loir, Johannes Nicaise, Frédéric Paugam, Jérôme Poineau, Michael Temkin.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous allons dans un premier temps proposer une définition d'espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme induite par le maximum des normes de ses différents plongements complexes. Cette définition s'appuie sur la théorie des espaces analytiques sur un corps non archimédien introduite par V. Berkovich.Nous montrerons ensuite que la définition que nous proposons donne lieu à une catégorie qui satisfait des propriétés essentielles comme une description " simple " des ensembles morphismes entre espaces analytiques, l'existence de produits fibrés et d'un foncteur d'analytification induit par une propriété universelle.Dans une troisième partie, nous étudierons divers propriétés des morphismes finis entre espaces analytiques et en déduirons la connexité locale par arcs des espaces analytiques sur un anneau d'entiers de corps de nombres muni de la norme décrite ci-dessus.Enfin, nous définirons une notion de dimension pour les espaces de Berkovich sur un anneau d'entiers de corps de nombres et étudierons plus en détail le foncteur d'analytification en montrant par exemple que le morphisme d'analytification est fidèlement plat et que ce foncteur respecte la dimension.

  • Titre traduit

    Construction of a category of Berkovich spaces over Z and a local study of their topology


  • Résumé

    In the first part of this thesis, we give a definition of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm induced by the maximum of the norms of thel complex embeddings. This definition uses V. Berkovich’s theory of analytic spaces over a non-archimedean field. Then we show that this definition leads to a category which satisfies some basic properties as a “simple” description of sets of morphisms between analytic spaces, the existence of fiber products and analytification functor defines by a universal property. In a third part, we study some properties of finite morphisms between analytic spaces and deduce the local arcwise connectedness of analytic spaces over a ring of integers of a number field provided with the norm described above. Finally, we define a notion of dimension for Berkovich spaces over a ring of integers of number field and study in more detail the analytification functor, in particular, that the analytification morphism is faithfully flat and that this functor respects dimension.


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