Problèmes de séparation de relations analytiques

Separation problems for analytic relations

• Auteur / Autrice : Rafael Zamora
• Direction : Dominique Lecomte
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/07/2015
• Etablissement(s) : Paris 6
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Gabriel Debs, Alain Louveau, Étienne Matheron, Julien Melleray, Benjamin David Miller

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ensembles boréliens

Dichotomie

Mots clés libres

Borel

Classe

Dichotomie

Séparation

Wadge

Product

Dichotomy

Borel

Résumé

Soit F une famille de sous-ensembles d'un espace polonais X. Soient A et B deux sous-ensembles de X. A est séparable de B par un ensemble de F s'il existe C dans F qui contient A et n'intersecte pas B. Lorsque A et B sont des sous-ensembles analytiques et F est une classe de Wadge de boréliens, la non séparabilité de A et B a été caractérisée par Louveau et Saint Raymond. Ils ont fourni un exemple minimum, pour un certain quasi-ordre, ce qui est connu sous le nom de dichotomie à la Hurewicz. Dans les espaces polonais produit, de nouvelles familles naturelles d'ensembles apparaissent. Un exemple, qui est lié à l'étude des graphes définissables, est la classe des produits de deux ensembles dans deux classes Borel F et F'. On caractérise separabilité des ensembles analytiques, lorsque F et F' sont des classes de Borel de petit rang. Une autre classe naturelle est celle des boréliens qui sont dans une certaine classe F si on affine les topologies originales en d'autres topologies polonaises. Nous appelons ces ensembles potentiellement dans F. Lecomte a caractérisé la séparabilité des ensembles analytiques par des ensembles potentiellement dans F, lorsque F est une classe de Wadge de boréliens. Une question naturelle est de se demander si nous pouvons avoir cette dichotomie pour un quasi-ordre plus fin qui utilise des fonctions injectives. Dans la deuxième partie du manuscrit, on caractérise la separabilité pour ce quasi-ordre lorsque A, B sont des ensembles analytiques et F est la classe des ensembles potentiellement dans C. Des hypothèses plus fortes sont nécessaires, de sorte que nous développons une notion qui généralise à la fois l'acyclicité et la locale dénombrabilité.

Let F be a family of subsets of a Polish space X. Given two subsets A and B of X, one says that A is separable from B by a set in F if there is C in F which contains A and does not intersect B. When A and B are analytic subsets and F is a Wadge class of Borel sets, the non separability of A and B was characterized by Louveau and Saint Raymond. They provided a minimum example, for some quasi-order, in what is known as a Hurewicz dichotomy. If we consider the product of two Polish spaces, new natural families of sets (and thus new separation problems) arise. An example, that is related to the study of definable graphs, is the class of products of sets in two Borel classes F and F'. We obtain a characterization of the separability when F and F' are Borel classes of low rank. Another natural class is the class of Borel sets which are in a certain class F if one refines the original topologies into other Polish topologies. We call these sets potentially in F. A dichotomy characterizing separability of analytic sets by sets potentially in F was proved by Lecomte when F is any Wadge class of Borel sets. However, a natural question is to ask whether we can have this dichotomy for a finer quasi-order, involving injective functions. In the second part of the manuscript, we give a characterization involving this other quasi-order when A,B are analytic sets and F is the class of sets potentially in C. Stronger hypothesis are needed, so we develop a notion that generalizes both acyclicity and local countability.