Une quête d'exactitude : machines, algèbre et géométrie pour la construction traditionnelle des équations différentielles

A quest for exactness : machines, algebra and geometry for tractional constructions of differential equations

• Auteur / Autrice : Pietro Milici
• Direction : Marco Panza, Aldo Brigaglia
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Philosophie
• Date : Soutenance le 17/07/2015
• Etablissement(s) : Paris 1 en cotutelle avec Università degli studi (Palerme, Italie)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Philosophie (Paris ; 1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement d'accueil : Università degli studi (Palerme, Italie)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut d'histoire et de philosophie des sciences et des techniques (Paris ; 1932-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Jacques Szczeciniarz
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marco Panza, Aldo Brigaglia, Gilles Aldon
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dominique Tournès

Mots clés

Mots clés contrôlés

Critique et interprétation

Descartes, René (1596-1650)

Descartes, René (1596-1650). Géométrie

Philosophie et mathématiques

Géométrie -- Fondements

Géométrie -- Philosophie

Mots clés libres

Descartes

Constructions géométriques

Mouvement tractionnel

Exactness problem

Traditional motion

Geometrical constructions

Descartes

Differential algebra

Ideal machines

Foundations of calculus

Artefacts in math education

Résumé

Dans La Géométrie de 1637, Descartes a trouvé un “équilibre” entre constructions géométriques et manipulation symbolique au moyen de l’introduction d’opportunes machines idéales. En particulier, les instruments de Descartes étaient l’algèbre polynomiale (analyse) et une classe de constructions diagrammatiques (synthèse). Cette approche implique une classification des courbes, suivant laquelle les courbes algébriques peuvent être considérées comme “purement géométriques”. Cette limite a été dépassée à l’aide d’une méthode générale par Newton et Leibniz, en introduisant l’infini dans la partie analytique, tandis que la perspective synthétique a graduellement et de plus en plus perdu de son importance par rapport à la perspective analytique (la géométrie devient un moyen de visualisation et cesse d’être un moyen de construction). L’approche fondationnelle de Descartes (analyse par éléments finis et synthèse par constructions diagrammatiques) a été tout de même étendue au-delà des limites des courbes algébriques, bien qu’en deux périodes distinctes. Vers la fin du XVII siècle la partie synthétique a été étendue avec le “mouvement tractionnel” (construction de courbes transcendantes à l’aide de machines idéalisées) et vers le début du XX siècle la partie analytique a été étendue avec l’“algèbre différentielle” (de nos jours, considérée comme une branche de l’algèbre computationnelle). L’objectif de cette thèse est de prouver comment il est possible d’obtenir un nouvel équilibre entre ces extensions (synthétique et analytique) des instruments cartésiens, un équilibre dépassant la limite des courbes algébriques et permettant de traiter une classe de problèmes transcendants. En d’autres termes, le but est de mettre en exergue comment une nouvelle convergence de machines, algèbre et géométrie est possible, permettant une fondation d’une partie de l’analyse infinitésimale sans exigence conceptuelle de l’infini. Ce travail se caractérise par l’attention qui est portée sur le rôle constructif de la géométrie (en tant qu’idéalisation du comportement de machines opportunes) à des fins fondationnelles. Cette approche, suite à la “dé-géométrisation” des mathématiques, se détache fortement du courant principal des discussions sur les mathématiques, notamment du point de vue fondationnel. Toutefois, même si aujourd’hui cette question est tombée dans l’oubli, le problème de définir des critères de constructions appropriés, très débattu à l’âge classique, a eu de profondes influences sur la façon dont les objets et les méthodes mathématiques de l’époque ont été définis. D’après la définition de Bos [2001], ce sont là les “problèmes d’exactitude” de la géométrie. Ces problèmes d’exactitude ont trait aux interprétations philosophiques et psychologiques, c’est pourquoi ils sont normalement considérés comme externes aux mathématiques. Toutefois, même si je ne vais pas apporter de réponse exhaustive, dans mes conclusions je propose une approche algorithmique (très primitive) pour cerner ces problèmes, que j’espère pouvoir approfondir dans des travaux à venir. Depuis la perspective des sciences cognitives, cette approche par rapport à l’analyse infinitésimale ne demande pas l’infini et, grâce aux machines idéalisées, peut être conçue au travers d’opportunes “métaphores fondatrices” (selon la terminologie de Lakoff and Núñez [2000]). Ce caractère concret peut avoir des retombées utiles dans la didactique des mathématiques, grâce à l’usage d’artefacts tant physiques que numériques (cette partie ne sera abordée que de façon marginale).

In La Géométrie, Descartes proposed a “balance” between geometric constructions and symbolic manipulation with the introduction of suitable ideal machines. In particular, Cartesian tools were polynomial algebra (analysis) and a class of diagrammatic constructions (synthesis). This setting provided a classification of curves, according to which only the algebraic ones were considered “purely geometrical.” This limit was overcome with a general method by Newton and Leibniz introducing the infinity in the analytical part, whereas the synthetic perspective gradually lost importance with respect to the analytical one—geometry became a mean of visualization, no longer of construction. Descartes’s foundational approach (analysis without infinitary objects and synthesis with diagrammatic constructions) has, however, been extended beyond algebraic limits, albeit in two different periods. In the late 17th century, the synthetic aspect was extended by “tractional motion” (construction of transcendental curves with idealized machines). In the first half of the 20th century, the analytical part was extended by “differential algebra,” now a branch of computer algebra. This thesis seeks to prove that it is possible to obtain a new balance between these synthetic and analytical extensions of Cartesian tools for a class of transcendental problems. In other words, there is a possibility of a new convergence of machines, algebra, and geometry that gives scope for a foundation of (a part of) infinitesimal calculus without the conceptual need of infinity. The peculiarity of this work lies in the attention to the constructive role of geometry as idealization of machines for foundational purposes. This approach, after the “de-geometrization” of mathematics, is far removed from the mainstream discussions of mathematics, especially regarding foundations. However, though forgotten these days, the problem of defining appropriate canons of construction was very important in the early modern era, and had a lot of influence on the definition of mathematical objects and methods. According to the definition of Bos [2001], these are “exactness problems” for geometry. Such problems about exactness involve philosophical and psychological interpretations, which is why they are usually considered external to mathematics. However, even though lacking any final answer, I propose in conclusion a very primitive algorithmic approach to such problems, which I hope to explore further in future research. From a cognitive perspective, this approach to calculus does not require infinity and, thanks to idealized machines, can be set with suitable “grounding metaphors” (according to the terminology of Lakoff and Núñez [2000]). This concreteness can have useful fallouts for math education, thanks to the use of both physical and digital artifacts (this part will be treated only marginally).

Ne La Géométrie del 1637 Descartes ha proposto un “equilibrio” tra costruzioni geometriche e manipolazioni simboliche con l’introduzione di opportune macchine ideali. In particolare gli strumenti di Descartes erano l’algebra polinomiale (analisi) e una classe di costruzioni diagrammatiche (sintesi). Questa impostazione implica una classificazione delle curve, secondo cui solo quelle algebriche possono essere considerate “puramente geometriche”. Questo limite è stato superato con un metodo generale da Newton e Leibniz introducendo l’infinito nella parte analitica, mentre la prospettiva sintetica ha gradualmente sempre più perso importanza rispetto a quella analitica (la geometria diventa un mezzo di visualizzazione e non più di costruzione). L’approccio fondazionale di Descartes (analisi con oggetti finiti e sintesi con costruzioni diagrammatiche) è stato comunque esteso oltre i limiti delle curve algebriche, anche se in due periodi distinti. Nel tardo XVII secolo la parte sintetica è stata estesa con il “movimento trazionale” (costruzione di curve trascendenti con macchine idealizzate), e nella prima metà del XX secolo la parte analitica è stata estesa con la “algebra differenziale” (oggigiorno considerata una branca dell’algebra computazionale). L’obiettivo di questa tesi è di provare come sia possibile ottenere un nuovo equilibrio tra queste estensioni (sintentica e analitica) degli strumenti Cartesiani, un equilibrio che superi il limite delle curve algebriche e permetta di trattare una classe di problemi trascendenti. In altre parole, l’obiettivo è di evidenziare come sia possibile una nuova convergenza di macchine, algebra e geometria che permetta una fondazione di (parte della) analisi infinitesimale senza il bisogno concettuale dell’infinito. La caratteristica di questo lavoro è l’attenzione al ruolo costruttivo della geometria (come idealizzazione del comportamento di opportune macchine) per fini fondazionali. Questo approccio, dopo la “de-geometrizzazione” della matematica, è molto distante dal filone principale delle discussioni sulla matematica, specie dal punto di vista fondazionale. Comunque, anche se oggigiorno caduto in oblio, il problema di definire degli appropriati canoni di costruzioni era molto sentito nel periodo della prima età moderna, ed ha avuto profonde influenze sul modo in cui sono stati definiti gli oggetti e i metodi matematici dell’epoca. Secondo la definizione di Bos [2001], questi sono i “problemi di esattezza” per la geometria. Questi problemi di esattezza riguardano interpretazioni filosofiche e psicologiche, pertanto sono solitamente considerati esterni alla matematica. Comunque, anche se senza una risposta esaustiva, nelle conclusioni propongo un approccio algoritmico (molto primitivo) per inquadrare tali problemi, che spero di approfondire in lavori futuri.