Estimations gaussiennes des noyaux de la chaleur

par Laurent Kayser

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Mourad Choulli.

Le président du jury était Thierry Coulhon.

Le jury était composé de Ralph Chill, Jérémy Faupin, Victor Nistor, El Maati Ouhabaz, Frédéric Robert.

Les rapporteurs étaient Abdelaziz Rhandi.


  • Résumé

    Nous revisitons la méthode classique des paramétrices pour en déduire une minoration et une majoration gaussiennes, pour la solution fondamentale d'un opérateur parabolique général sous forme non divergentielle. Nous utilisons ensuite le fait que la fonction de Neumann Green, d'un opérateur parabolique général sur un ouvert borné régulier, peut être construite comme somme de la solution fondamentale et d'une intégrale de type simple couche parabolique pour établir une minoration gaussienne pour cette fonction de Neumann Green. Le point clef de la preuve réside dans l'effet régularisant, en temps, de l'intégrale de type simple couche. Nous démontrons aussi que cette approche peut être adaptée pour démontrer une minoration gaussienne pour la fonction de Green-Neumann correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert régulier d'une variété riemannienne compacte sans bord. Nous démontrons ensuite une nouvelle majoration gaussienne pour la fonction de Neumann Green correspondante à l'opérateur de Laplace-Beltrami sur un ouvert Lipschitz d'une variété riemannienne complète. L'intérêt de cette nouvelle majoration est qu'elle ne contient pas le terme habituel d'une exponentielle en temps. Finalement, comme application des estimations gaussiennes, nous donnons un résultat de compacité des potentiels isospectraux en relation avec une formule asymptotique pour les noyaux de la chaleur

  • Titre traduit

    Gaussian estimates for heat kernels


  • Résumé

    We revisit the parametrix method in order to obtain a gaussian two-sided bound for the fundamental solution of a general parabolic operator which is not in a divergence form. Then we use the fact that the Neumann Green function of a general parabolic operator on a regular bounded domain can be constructed as a perturbation of the fundamental solution by a simple-layer potential in order to establish a Gaussian lower bound for this Neumann Green function. The key point of the proof lies in the time-regularising effect of the single-layer potential. We also prove that this method can be adapted to get a lower Gaussian bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on an open subset of a compact Riemannian manifold. In a second part, we prove a new Gaussian upper bound for the Neumann heat kernel of the Laplace-Beltrami operator on a Lipschitz domain of a complete Riemannian manifold. The principal interest of this new upper bound is that we do not have the usual exponentiel terme in time in this upper bound. In a last part, as an application of the Gaussian estimates, we give a compactness result of isospectral potentials which is in relation to an asymptotic formule for the heat kernels


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