Espaces symétriques compacts, quantification et représentations

Compact symmetric spaces, quantization and representations

• Auteur / Autrice : Oğuzhan Kaya
• Direction : Johannes Huebschmann, Gijs M. Tuynman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/10/2015
• Etablissement(s) : Lille 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences pour l'ingénieur (Lille ; 1992-2021)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Fonctions sphériques

Quantification géométrique

Représentations de groupes de Lie

Espaces symétriques

Mots clés libres

Théorie de Peter-Weyl

Formule des caractères de Kirillov

Résumé

Soient U un groupe de Lie compact et K un sous groupe fermé de U tel que l'espace homogène U/K soit un espace symétrique compact. On applique la quantification géométrique au fibré cotangent de U/K pour lequel on a deux choix naturels pour une polarisation, la polarisation verticale et holomorphe. La quantification géométrique nous donne un espace hilbertien de fonctions sur U/K et un espace hilbertien de fonctions holomorphes sur le cotangent qui s'identifie avec le complexifié U^C/K^C. On obtient le couplage BKS entre ces deux espaces ce qui nous donne (en théorie) la transformée BKS entre ces deux espaces. Pour étudier l'unitarité de cette transformée BKS on utilise en particulier la théorie des représentations unitaires des groupes de Lie compacts pour réduire le problème à une question qui ne fait intervenir que les fonctions sphériques. L'unicité des fonctions sphériques pour une représentation donnée simplifie grandement le problème. On applique notre méthode aux groupes de Lie compacts en les considérant comme étant un espace symétrique compact en prenant U=K x K et K=diag(K). En utilisant la formule des caractères de Kirillov notre méthode permet de redémontrer (c'est une variante de la preuve de Huebschmann) que la transformée BKS pour les groupes de Lie compact est unitaire. Par la même méthode on montre aussi que la transformée BKS n'est pas unitaire pour un espace symétrique compact arbitraire. Comme contre exemple, on donne la 5-sphère S^5 vue comme un espace symétrique en prenant S^5=SO(6)/SO(5). D'autre part, quand on introduit le paramètre hbar suggéré par la physique, on montre que la transformée de BKS est asymptotiquement unitaire pour tous les espaces symétriques compacts dans la limite hbar --> 0.

Let U be a compact Lie group and K a closed subgroup such that the quotient space U/K is a compact symmetric space. We apply geometric quantization to the cotangent bundle of U/K, for which we have two natural choices for a polarization: the vertical polarization and the holomorphic polarization. Geometric quantization then gives us two Hilbert spaces, one a space of functions on U/K and the other a space of holomorphic functions on the cotangent bundle which can be identifies with the complexification U^C/K^C. We obtain the BKS pairing between these two spaces, which gives us (in theory) the BKS transform between these two spaces. In order to study whether this BKS transform is unitary, we use in particular the theory of unitary representations of compact Lie groups, which allows us to reduce this question to a question that involves only spherical functions. Uniqueness of spherical functions for a given representation then simplifies the problem enormously. Our method can be applied to compact Lie groups by considering a compact Lie group K as a compact symmetric space: it suffices to take U=K x K and K =diag(K). By using Kirillov's character formula our method allows us to give yet another proof that the BKS transform for compact Lie groups is unitary (our proof is a variation of the proof given by Huebschmann). Our method also allows us to show that the BKS transform is not unitary for an arbitrary compact symmetric space. An explicit counter example is the 5-sphere S^5 seen as symmetric space by taking S^5=SO(6)/SO(5). On the other hand, introducing the parameter hbar as suggested by physics, we show that the BKS transform is asymptotically unitary for all compact symmetric spaces in the limit hbar --> 0.