Étude mathématique et numérique des méthodes de réduction dimensionnelle de type POD et PGD
Auteur / Autrice : | Marwan Saleh |
Direction : | Abdallah El Hamidi |
Type : | Thèse de doctorat |
Discipline(s) : | Mécanique des fluides |
Date : | Soutenance le 07/05/2015 |
Etablissement(s) : | La Rochelle |
Ecole(s) doctorale(s) : | École doctorale Sciences et ingénierie des matériaux, mécanique, énergétique et aéronautique (Poitiers ; 2009-2018) |
Partenaire(s) de recherche : | Laboratoire : Laboratoire des Sciences de l’Ingénieur pour l’Environnement (La Rochelle) |
Jury : | Président / Présidente : Aziz Hamdouni |
Examinateurs / Examinatrices : Abdallah El Hamidi, Aziz Hamdouni, Antonio Falcó, Alexei Lozinski, Baudouin Denis de Senneville, Marc Garbey, Nicolas Papadakis | |
Rapporteurs / Rapporteuses : Antonio Falcó, Alexei Lozinski |
Mots clés
Mots clés contrôlés
Résumé
Ce mémoire de thèse est formé de quatre chapitres. Un premier chapitre présente les différentes notions et outils mathématiques utilisés dans le corps de la thèse ainsi qu’une description des résultats principaux que nous avons obtenus. Le second chapitre présente une généralisation d’un résultat obtenu par Rousselet-Chénais en 1990 qui décrit la sensibilité des sous-espaces propres d’opérateurs compacts auto-adjoints. Rousselet-Chénais se sont limités aux sous-espaces propres de dimension 1 et nous avons étendu leur résultat aux dimensions supérieures. Nous avons appliqué nos résultats à la Décomposition par Projection Orthogonale (POD) dans le cas de variation paramétrique, temporelle ou spatiale (Gappy-POD). Le troisième chapitre traite de l’estimation du flot optique avec des énergies quadratiques ou linéaires à l’infini. On montre des résultats mathématiques de convergence de la méthode de Décomposition Progressive Généralisée (PGD) dans le cas des énergies quadratiques. Notre démonstration est basée sur la décomposition de Brézis-Lieb via la convergence presque-partout de la suite gradient PGD. Une étude numérique détaillée est faite sur différents type d’images : sur les équations de transport de scalaire passif, dont le champ de déplacement est solution des équations de Navier-Stokes. Ces équations présentent un défi pour l’estimation du flot optique à cause du faible gradient dans plusieurs régions de l’image. Nous avons appliqué notre méthode aux séquences d’images IRM pour l’estimation du mouvement des organes abdominaux. La PGD a présenté une supériorité à la fois au niveau du temps de calcul (même en 2D) et au niveau de la représentation correcte des mouvements estimés. La diffusion locale des méthodes classiques (Horn & Schunck, par exemple) ralentit leur convergence contrairement à la PGD qui est une méthode plus globale par nature. Le dernier chapitre traite de l’application de la méthode PGD dans le cas d’équations elliptiques variationnelles dont l’énergie présente tous les défis aux méthodes variationnelles classiques : manque de convexité, manque de coercivité et manque du caractère borné de l’énergie. Nous démontrons des résultats de convergence, pour la topologie faible, des suites PGD (lorsqu’elles sont bien définies) vers deux solutions extrémales sur la variété de Nehari. Plusieurs questions mathématiques concernant la PGD restent ouvertes dans ce chapitre. Ces questions font partie de nos perspectives de recherche.