Analyse harmonique sur les graphes et les groupes de Lie : fonctionnelles quadratiques, transformées de Riesz et espaces de Besov

par Joseph Feneuil

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Emmanuel Russ.

Soutenue le 10-07-2015

à l'Université Grenoble Alpes (ComUE) , dans le cadre de École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble) , en partenariat avec Institut Fourier (Grenoble) (laboratoire) et de Institut Fourier (laboratoire) .

Le président du jury était Thierry Coulhon.

Le jury était composé de Emmanuel Russ, Sandrine Grellier, Petru Mironescu, El Maati Ouhabaz.

Les rapporteurs étaient Pascal Auscher, Steve Hoffmann.


  • Résumé

    Ce mémoire est consacré à des résultats d'analyse harmonique réelle dans des cadres géométriques discrets (graphes) ou continus (groupes de Lie).Soit Gamma un graphe (ensemble de sommets et d'arêtes) muni d'un laplacien discret Delta=I-P, où P est un opérateur de Markov. Sous des hypothèses géométriques convenables sur Gamma, nous montrons la continuité Lp de fonctionnelles de Littlewood-Paley fractionnaires. Nous introduisons des espaces de Hardy H1 de fonctions et de 1-formes différentielles sur Gamma, dont nous donnons plusieurs caractérisations, en supposant seulement la propriété de doublement pour le volume des boules de Gamma. Nous en déduisons la continuité de la transformée de Riesz sur H1. En supposant de plus des estimations supérieures ponctuelles (gaussiennes ou sous-gaussiennes) sur les itérées du noyau de l'opérateur P, nous obtenons aussi la continuité de la transformée de Riesz sur Lp pour 1<p<2.Nous considérons également l'espace de Besov B{p,q} alpha(G) sur un groupe de Lie unimodulaire G muni d'un sous-laplacien Delta. En utilisant des estimations du noyau de la chaleur associé à Delta, nous donnons plusieurs caractérisations des espaces de Besov, et montrons une propriété d'algèbre pour B{p,q} alpha(G) cap L nfty(G), pour alpha>0, 1leq p leq+infty et 1leq qleq +infty. Les résultats sont valables en croissance polynomiale ou exponentielle du volume des boules.

  • Titre traduit

    Harmonic analysis on graphs and Lie groups : quadratic functionals, Riesz transforms and Besov spaces


  • Résumé

    This thesis is devoted to results in real harmonic analysis in discrete (graphs) or continuous (Lie groups) geometric contexts.Let Gamma be a graph (a set of vertices and edges) equipped with a discrete laplacian Delta=I-P, where P is a Markov operator.Under suitable geometric assumptions on Gamma, we show the Lp boundedness of fractional Littlewood-Paley functionals. We introduce H1 Hardy spaces of functions and of 1-differential forms on Gamma, giving several characterizations of these spaces, only assuming the doubling property for the volumes of balls in Gamma. As a consequence, we derive the H1 boundedness of the Riesz transform. Assuming furthermore pointwise upper bounds for the kernel (Gaussian of subgaussian upper bounds) on the iterates of the kernel of P, we also establish the Lp boundedness of the Riesz transform for 1<p<2.We also consider the Besov space B{p,q} alpha(G) on a unimodular Lie group G equipped with a sublaplacian Delta. Using estimates of the heat kernel associated with Delta, we give several characterizations of Besov spaces, and show an algebra property for B{p,q} alpha(G) cap L infty(G) for alpha>0, 1leq pleq+infty and 1leq qleq +infty.These results hold for polynomial as well as for exponential volume growth of balls.


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