New regularization methods for the inverse problem of parameter estimation in Ordinary differential equations

par Quentin Clairon

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Pierre Gilles Lemarié.

Le jury était composé de Nicolas Brunel.

Les rapporteurs étaient Adeline Leclercq-Samson, Emmanuel Trélat.

  • Titre traduit

    Nouvelles méthodes de régularisation du problème inverse d'estimlation de paramètres dans des équations différentielles ordinaires


  • Résumé

    Nous présentons dans cette thèse deux méthodes de régularisation du problème d’estimationde paramètres dans des équations différentielles ordinaires (EDOs). La première est une extensionde la méthode two-step, permettant d’obtenir une expression de la variance asymptotique etd’éviter l’usage de la derivée de l’estimateur non-paramétrique. Elle fait appel à la notion desolution faible et propose une caractérisation variationnelle de la solution de l’EDO. Ce faisant,elle identifie le vrai ensemble de paramètres comme celui respectant un ensemble de moments,fonctions plus régulières des paramètres que le critère des moindre carrés. Cette formulationgénérale permet de définir un estimateur s’appliquant à une large classe d’équations différentielles,et pouvant incorporer des informations supplémentaires disponibles sur la solution de l’EDO. Cesarguments, confortés par les resultats numériques obtenus, en font une approche compétitive parrapport aux moindres carrés. Néanmoins, cet estimateur nécessite l’observation de toutes lesvariables d’état.La seconde méthode s’applique également au cas partiellement observé. Elle régularise leproblème inverse par relaxation de la contrainte imposée par l’EDO en replaçant l’équationoriginale par une version perturbée. L’estimateur est ensuite défini à travers la minimisation d’uncoût profilé sur l’ensemble des perturbations possibles et pénalisant la distance entre le modèleinitial et le modèle perturbé. Cette approche introduit un problème d’optimisation en dimensioninfinie résolu grâce à un résultat fondamental de la théorie du contrôle optimal, le principedu maximum de Pontryagin. Il permet de ramener la résolution du problème d’optimisationà l’intégration d’une EDO avec condition aux bords. Ainsi, nous avons obtenu un estimateurimplémentable et que nous avons démontré consistent. Un intérêt particulier est porté au cas desEDOs linéaires pour lequel nous avons démontré la vitesse de convergence paramétrique et lanormalité asymptotique de notre estimateur. En outre, nous disposons d’une expression simplifiéedu coût profilé, ce qui facilite l’implémentation numérique de notre estimateur. Ces résultats sontdus à la théorie linéaire-quadratique, derivée du principe du maximum de Pontryagin dans lecas linéaire, elle assure l’existence, l’unicité et donne une expression simple de la solution duproblème d’optimisation définissant notre estimateur. A travers des exemples numériques nousavons montré que notre estimateur est compétitif avec les moindres carrés et le lissage généralisé,en particulier en présence d’une mauvaise spécification de modèle grâce à la relaxation du modèleoriginal introduite dans notre approche. Enfin, notre méthode d’estimation par utilisation de lathéorie du contrôle optimal offre un cadre pertinent pour traiter des problèmes d’analyse dedonnées fonctionnelles, ceci est illustré à travers un exemple dans le cas linéaire.


  • Résumé

    We present in this thesis two regularization methods of the parameter estimation problemin ordinary differential equations (ODEs). The first one is an extension of the two-step method,its initial motivations are to obtain an expression of the asymptotic variance and to avoid theuse of the derivative form of the nonparametric estimator. It relies on the notion of weak ODEsolution and considers a variational characterisation of the solution. By doing so, it identifiesthe true parameter set as the one satisfying a set of moments, which are smoother functions ofthe parameters than the least squares criteria. This general formulation defines an estimatorwhich applies to a broad range of differential equations, and can incorporate prior knowledgeson the ODE solution. Theses arguments, supported by the obtained numerical results, make ofthis method a competitive one comparing to least squares. Nonetheless, this estimator requiresto observe all state variables.The second method also applies to the partially observed case. It regularizes the inverseproblem thanks to a relaxation of the constraint imposed by the ODE by replacing the initialmodel by a pertubated one. The estimator is then defined as the minimizer of a profiled cost onthe set of possible perturbations and penalizing the distance between the initial model and theperturbated one. This approach requires the introduction of an infinite dimensional optimizationproblem solved by the use of a fundamental result coming from optimal control theory, the Pontryaginmaximum principle. Its application turns the resolution of the optimization problem intothe integration of an ODE with boundary constraints. Thus, we have obtained an implementableestimator for which we have proven consistency. We dedicate a thorough analysis to the caseof linear ODEs for which we have derived the parametric convergence rate and the asymptoticnormality of our estimator. In addition, we have access to a simpler expression for the profiledcost, which makes the numerical implementation of our estimator easier. Theses results are dueto linear-quadratic theory, derived from the Pontryagin maximum principle in the linear case, itgives existence, uniqueness and a simple expression of the solution of the optimization problemdefining our estimator. We have shown, through numerical examples, that our estimator is acompetitive one comparing to least squares and generalized smoothing, in particular in presenceof model misspecification thanks to the model relaxation introduced in our approach. Furthermore,our estimation method based on optimal control theory offers a relevant framework fordealing with functional data analysis problems, which is emphasized thanks to an example inthe linear case.


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  • Sous le titre : New regularization methods for the inverse problem of parameter estimation in Ordinary differential equations
  • Détails : 1 vol. (204 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 191-204.
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