The Landau-Lifshitz-Gilbert equation driven by Gaussian noise

par Antoine Hocquet

Thèse de doctorat en Mathématiques appliquées

Sous la direction de Anne de Bouard.

Soutenue en 2015

à Palaiseau, Ecole polytechnique .

  • Titre traduit

    L'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert stochastique avec bruit gaussien


  • Résumé

    Cette thèse porte sur l'influence d'un bruit Gaussien dans l'équation de Landau-Lifshitz-Gilbert Stochastique (SLLG). Il s'agit d'une équation aux dérivées partielles stochastique, non linéaire, avec une contrainte non convexe sur le module des solutions. Le chapitre 1 se consacre tout d'abord à la solvabilité locale de SLLG. Utilisant les propriétés classiques de l'intégration stochastique dans un espace de Banach, nous proposons une formulation mild, et donnons l'existence et l'unicité d'une solution locale en dimension quelconque, pour un bruit Gaussien régulier en espace, dans le cas sur-amorti. Dans un second temps, nous effectuons une étude spécifique de la dimension deux d'espace. Le chapitre 2 porte sur l'existence de solutions fortes au sens probabiliste pour SLLG en 2D. En se basant sur la formule de l'énergie, nous donnons une méthode permettant d'obtenir une solution globale en temps, de manière unique. Le chapitre 3 s'intéresse à l'unicité des solutions faibles en 2D. Un résultat déterministe donnait l'unicité sachant en supposant l'énergie décroît au cours du temps, hypothèse impossible dans le cas bruité. Nous montrons néanmoins l'unicité des solutions faibles vérifiant une propriété de sur-martingale sur la fonctionnelle d'énergie. Le chapitre 4 donne l'existence, sous l'hypothèse de sur-amortissement, de solutions explosives en temps fini. Nous expliquons que contrairement au cas déterministe, une singularité peut apparaître avec probabilité positive, quelle que soit la donnée initiale choisie. Nous revenons ensuite au cas d'une dimension d'espace quelconque, proposant dans le chapitre 5 un nouveau schéma numérique semi-discrétisé en temps. Ce chapitre est basé sur un article en collaboration avec F. Alouges et A. De Bouard. Nous montrons la convergence en loi d'un schéma de projection pour SLLG, qui a l'avantage de respecter de manière exacte la contrainte sur le module des solutions. Ce schéma traite le cas d'un terme de bruit assez général, régularisé en espace mais de dimension infinie. Nous montrons ensuite comment l'implémenter dans le chapitre 6, à l'aide d'éléments finis, et nous donnons une méthode pratique pour approcher un bruit régulier dans ce cadre. Nous mettons également en évidence le phénomène d'explosion, observé numériquement malgré la présence d'une terme gyromagnétique, et d'un bruit plus général qu'au chapitre 4.


  • Résumé

    This thesis is devoted to the influence of a noise term in the stochastic Landau-Lifshitz-Gilbert Equation (SLLG). It is a nonlinear stochastic partial differential equation with a non-convex constraint on the modulus of the solutions. First, we study in chapter 1 the question of local solvability. Using classical properties of stochastic integration with Banach space-valued processes, we propose a mild formulation, and give the existence and uniqueness of a local solution in any dimension, for a Gaussian noise, regular in space. Secondly, we focus on the specific study of SLLG in a two-dimensional space domain. Chapter 2 deals with the existence of a strong solution, in the probabilistic sense. Using the energy formula, we give a method to obtain uniquely a global solution in time. Chapter 3 gives uniqueness of weak solutions, provided that the energy satisfies a super-martingale property. This is the stochastic counterpart of a known deterministic result giving the uniqueness of weak solutions, knowing that the energy decreases. Chapter 4 gives the existence, in the so-called ``overdamped case'', of solutions that blow-up in finite time. We prove that, unlike the deterministic case, a singularity may appear with positive probability, regardless of the initial data chosen. Then we return to the case of general dimension of space, providing in chapter 5 a new time semi-discrete scheme for SLLG. This chapter is based on an article in collaboration with F. Alouges and A. De Bouard. We show the convergence in law of a projection-type scheme for SLLG, which has the advantage of respecting exactly the local constraint on the magnitude. This scheme treats the case of a rather general noise term regularized in space but infinite-dimensional. In Chapter 6, we show how to implement it with a finite element dicretization in space, and we give a practical method for approaching a regular noise in this framework. We also evidence numerical blow-up of the solutions, despite the presence of a gyromagnetic term, and of a more general noise than that of Chapter 4.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (172 p.)
  • Annexes : Bibliographie : 118 réf.

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  • Bibliothèque : École polytechnique. Bibliothèque Centrale.
  • Disponible pour le PEB
  • Bibliothèque : École polytechnique. Bibliothèque Centrale.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : A1B 112/2015/HOC
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