Nonequilibrium statistical mechanics of a crystal interacting with medium

par Andrey Dymov

Thèse de doctorat en Mathématiques - EM2C

Sous la direction de Armen Shirikyan et de Sergei Kuksin.

Soutenue le 17-06-2015

à Cergy-Pontoise , dans le cadre de Ecole doctorale Économie, Management, Mathématiques , Physique et Sciences Informatiques (EM2PSI) (Cergy-Pontoise, Val d'Oise) , en partenariat avec Analyse, géométrie et modélisation (Cergy-Pontoise, Val d'Oise) (laboratoire) et de Laboratoire d'Analyse- Géométrie et Modélisation / AGM (laboratoire) .

Le président du jury était David Ruelle.

Le jury était composé de Armen Shirikyan, Sergei Kuksin, Giambattista Giacomin, Thierry Bodineau, Vojkan Jaksic.

Les rapporteurs étaient Carlangelo Liverani, Claude-Alain Pillet.

  • Titre traduit

    Mécanique statistique hors d'équilibre d'un cristal interagissant avec un milieu continu


  • Résumé

    Dans cette thèse nous étudions des systèmes hamiltoniens de particules en interaction, où chaque particule est faiblement couplée avec son propre thermostat de type Langevin de température positive arbitraire. Les modèles peuvent être vu comme des cristaux plongés dans un milieu continue et interagissants faiblement avec ce dernier.Nous nous intéressons au transport d'énergie dans les systèmes quand les couplages des particules avec leurs thermostats tendent vers zéro simultanément avec les couplages entre eux.Nous examinons deux situations opposées, quand la mesure de Lebesgue des resonances du système de particules découplées est nulle et quand elle est pleine. Dans le premier cas, en utilisant la méthode de moyennisation stochastique, nous démontrons que dans la limite ci-dessus le comportement de l'énergie locale des particules sur des intervalles de temps longs, et dans le régime stationnaire est donné par une équation autonome stochastique, laquelle predit uniquement le transport d'énergie non hamiltonien.Dans le second cas, en utilisant la méthode de moyennisation resonante stochastique, nous prouvons que la dynamique limite de l'énergie locale est contrôlée par une équation efficace stochastique. La dernière prevoit le transport d'energie hamiltonien entre les particules. Cependant, elle n'est pas autonome pour l'énergie locale. En utilisant cette asymptotique, nous montrons que dans la limite ci-dessus le flux d'énergie hamiltonien du système satisfait des relations qui ressemblent à la loi de Fourier et à la formule de Green-Kubo (cependant, elles ne le sont pas).La plupart des résultats et convergences que nous obtenons dans la thèse sont uniformes par rapport au nombre de particules dans les systèmes, qui rend nos résultats pertinents du point de vue de la physique statistique.


  • Résumé

    In the present thesis we study Hamiltonian systems of particles with weak nearest-neighbour interaction, where each particle is weakly coupled with its own stochastic Langevin-type thermostat of arbitrary positive temperature.The models can be seen as crystals plugged in some medium and weakly interacting with it.We are interested in the energy transport through the systems when the couplings of the particles with the thermostats go to zero simultaneously with their couplings with each other.We investigate two opposite situations, when resonances of the system of uncoupled particles have Lebesgue measure zero and when they are of full Lebesgue measure.In the first case, using the method of stochastic averaging, we prove that under the limit above behaviour of the local energy of particles on long time intervals and in a stationary regime is given by an autonomous stochastic equation, which does not provide any Hamiltonian energy transport.For the second situation, using the method of resonant stochastic averaging, we show that the limiting dynamics of the local energy is governed by a stochastic effective equation. The latter provides Hamiltonian energy transport between the particles, however, is not an autonomous equation for the local energy. Using this asymptotics, we prove that under the limit above the Hamiltonian energy flow in the system satisfies some relations which resemble the Fourier law and the Green-Kubo formula (however, which are not).Most of results and convergences obtained in the thesis are uniform with respect to the number of particles in the systems, what makes our results relevant from the point of view of statistical physics.


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