Universal Adelic Groups for Imaginary Quadratic Number Fields and Elliptic Curves
Groupes adéliques universels pour les corps quadratiques imaginaires et les courbes elliptiques
Résumé
The present thesis focuses on two questions that are not obviously related. Namely,(1) What does the absolute abelian Galois group AK of an imaginary quadratic number field K look like, as a topological group?(2) What does the adelic point group of an elliptic curve over Q look like, as a topological group?For the first question, the focus on abelian Galois groups provides us with class field theory as a tool to analyze AK . The older work in this area, which goes back to Kubota and Onabe, provides a description of the Pontryagin dual of AK in terms of infinite families, at each prime p, of so called Ulm invariants and is very indirect. Our direct class field theoretic approach shows that AK contains a subgroup UK of finite index isomorphic to the unit group Oˆ∗ of the profinite completion Oˆ of the ring of integers of K, and provides a completely explicit description of the topological group UK that is almost independent of the imaginary quadratic field K. More precisely, for all imaginary quadratic number fields different from Q(i) and Q(√−2), we have UK ∼= U = Zˆ2 × Y Z/nZ. (n=1)The exceptional nature of Q(√−2) was missed by Kubota and Onabe, and their theorems need to be corrected in this respect.Passing from the ‘universal’ subgroup UK to AK amounts to a group extension problem for adelic groups that may be ‘solved’ by passing to a suitable quotient extension involving the maximal Zˆ-free quotientUK/TK of UK . By ‘solved’ we mean that for each K that is sufficiently small to allow explicit class group computations for K, we obtain a practical algorithm to compute the splitting behavior of the extension. In case the quotient extension is totally non-split, the conclusion is that AK is isomorphic as a topological group to the universal group U . Conversely, any splitting of the p-part of the quotient extension at an odd prime p leads to groups AK that are not isomorphic to U . For the prime 2, the situation is special, but our control of it is much greater as a result of the wealth of theorems on 2-parts of quadratic class groups.Based on numerical experimentation, we have gained a basic under- standing of the distribution of isomorphism types of AK for varying K, and this leads to challenging conjectures such as “100% of all imagi- nary quadratic fields of prime class number have AK isomorphic to the universal group U ”.In the case of our second question, which occurs implicitly in [?, Section 9, Question 1] with a view towards recovering a number field K from the adelic point group E(AK ) of a suitable elliptic curve over K, we can directly apply the standard tools for elliptic curves over number fields in a method that follows the lines of the determination of the structure of Oˆ∗ we encountered for our first question.It turns out that, for the case K = Q that is treated in Chapter 4, the adelic point group of ‘almost all’ elliptic curves over Q is isomorphic to a universal groupE = R/Z × Zˆ × Y Z/nZ (n=1)that is somewhat similar in nature to U . The reason for the universality of adelic point groups of elliptic curves lies in the tendency of elliptic curves to have Galois representations on their group of Q-valued torsion points that are very close to being maximal. For K = Q, maximality of the Galois representation of an elliptic curve E means that E is a so-called Serre-curve, and it has been proved recently by Nathan Jones [?] that ‘almost all’ elliptic curves over Q are of this nature. In fact, universality of E(AK ) requires much less than maximality of the Galois representation, and the result is that it actually requires some effort to construct families of elliptic curves with non-universal adelic point groups. We provide an example at the end of Chapter 4.
Cette thèse traite de deux problèmes dont le lien n’est pas apparent (1) A` quoi ressemble l’abélianisé AK du groupe de Galois absolu d’un corps quadratique imaginaire K, comme groupe topologique? (2) A` quoi ressemble le groupe des points adéliques d’une courbe elliptique sur Q, comme groupe topologique? Pour la première question, la restriction au groupe de Galois abélianisé nous permet d’utiliser la théorie du corps de classes pour analyser AK . Les travaux précédents dans ce domaine, qui remontent à Kubota et Onabe, décrivent le dual de Pontryagin de AK en termes de familles in- finies d’invariants de Ulm à chaque premier p, très indirectement. Notre approche directe par théorie du corps de classes montre que AK con- tient un sous-groupe UK d’indice fini isomorphe au groupe des unités Oˆ* de la complétion profinie Oˆ de l’anneau des entiers de K, et décrit explicitement le groupe topologique UK , essentiellement indépendamment du corps quadratique imaginaire K. Plus précisément, pour tout corps quadratique imaginaire différent de Q(i) et Q(v-2),on a UK ∼= U = Zˆ2 × Y Z/nZ. (n=1) Le caractère exceptionnel de Q(v-2) n’apparaît pas dans les travaux de Kubota et Onabe, et leurs résultats doivent être corrigés sur ce point.Passer du sous-groupe universel UK à AK revient à un problème d’extension pour des groupes adéliques qu’il est possible de résoudre en passant à une extension de quotients convenables impliquant le quotient Zˆ-libre maximal UK/TK de UK . Par résoudre , nous entendons que, pour chaque K suffisamment petit pour permettre des calculs de groupe de classes explicites, nous obtenons un algorithme praticable décidant le comportement de cette extension. Si elle est totalement non-scindée, alors AK est isomorphe comme groupe topologique au groupe universel U . Réciproquement, si l’extension tensorisée par Zp se scinde pour un premier p impair, alors AK n’est pas isomorphe à U . Pour le premier 2, la situation est particulière, mais elle reste contrôlée grâce à l’abondance de résultats sur la 2-partie des groupes de classes de corps quadratiques.Nos expérimentations numériques ont permis de mieux comprendre la distribution des types d’isomorphismes de AK quand K varie, et nous conduisent à des conjectures telles que pour 100% des corps quadratiques imaginaires K de nombre de classes premier, AK est isomorphe au groupe universel U .Pour notre deuxième problème, qui apparaît implicitement dans [?, Section 9, Question 1] (dans le but de reconstruire le corps de nombres K à partir du groupe des points adéliques E(AK ) d’une courbe elliptique convenable sur K), nous pouvons appliquer les techniques usuelles pour les courbes elliptiques sur les corps de nombres, en suivant les mêmes étapes que pour déterminer la structure du groupe Oˆ* rencontré dans notre premier problème. Il s’avère que, dans le cas K = Q que nous traitons au Chapitre 4, le groupe des points adéliques de presque toutes les courbes elliptiques sur Q est isomorphe à un groupe universel E = R/Z × Zˆ × Y Z/nZ (n=1)de nature similaire au groupe U . Cette universalité du groupe des points adéliques des courbes elliptiques provient de la tendance qu’ont les représentations galoisiennes attachées (sur le groupe des points de torsion à valeurs dans Q) à être maximales. Pour K = Q, la représentation galoisienne est maximale si est seulement si la courbe E est une courbe de Serre, et Nathan Jones [?] a récemment démontré que presque toutes les courbes elliptiques sur Q sont de cette nature. En fait, l’universalité de E(AK ) suit d’hypothèses bien plus faibles, et il n’est pas facile de construire des familles de courbes elliptiques dont le groupe des points adéliques n’est pas universel. Nous donnons un tel exemple à la fin du Chapitre 4.
Origine : Version validée par le jury (STAR)