Some results for nonlocal elliptic and parabolic nonlinear equations

par Erwin Topp Paredes

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Guy Barles et de Patricio A. Felmer.

Le président du jury était Alexander Quaas.

Le jury était composé de Juan Davila, Yannick Sire.

  • Titre traduit

    Quelques résultats pour équations non local elliptiques et paraboliques non linéaires


  • Résumé

    Cette thèse se consacre à l’étude des propriétés qualitatives d’équations elliptiques dégénérées où la diffusion est purement non locale, et s’est réalisée dans le cadre de la théorie des solutions visqueuses. La première partie de la thèse traite de l’étude des propriétés de compacité d’une famille d’opérateurs non locaux d’ordre zéro. Ces opérateurs sont d’opérateurs elliptiques non locaux définis par le biais d’une mesure bornée. On considère une famille d’opérateurs uni-paramétrique d’ordre zéro de la forme \begin{eqnarray*} \mathcal{I}_\epsilon(u, x) = \int_{\mathbb{R}^N} [u(x + z) - u(x)]K_\epsilon(z)dz, \end{eqnarray*} où, pour chaque S\epsilon \in (0,1)$, $K_\epsilon \in L^I(\mathbb{R}^N)$ est une fonction radialement symétrique et positive. On configure notre problème de sorte que $\mathcal{I}_\epsilon$ tende vers du Laplacien fractionnaire quand $\epsilon \to 0^+$, ce qui implique que la norme $L^1S des $K_\epsilon$ n’est pas bornée lorsque $\epsilon \to 0^+$. Un premier résultat de cette partie est un module de continuité dans l’espace-temps pour la famille des solutions bornées de l’équation de la chaleur non-locale dans le plan associé à $\matbcal{I}_\epsilon$, indépendante de $\epsilon \in (0,1)$. Le second résultat de cette partie considère le problème de Dirichlet sur un domaine borné \Omega \subset \R^N$ associé à $mathcal{I}_\epsilon$, et conclut à la compacité de la famille de solutions bornées ${u_\epsilon }_\epsilon$ pour ces problèmes de Dirichlet, en exhibant un module de continuité commun sur $\bar(\Omega)$ pour $\{ u_\epsilon \}_\epsilon$, indépendant de $\epsilon$.


  • Résumé

    This thesis is devoted to the study of qualitative properties of degenerate elliptic equations where the diffusion is purely nonlocal, and it is carried out in the framework of the theory of viscosity solutions. The first part of the thesis is focused in the study of compactness properties of a family of \textsl{zero-th order nonlocal operators], that is, elliptic nonlocal operators defined though a finite measure. We consider a one parameter family of zero-th order operator with the form \begin{eqnarray*} \mathcal{I}_\epsilon(u, x) = \int_{\mathbb{R}^N} [u(x + z) - u(x)]K_\epsilon(z)dz, \end{eqnarray*} where, for each $\epsilon ‘sin (0,1)$, $K_\epsilon Mn L^1(\mathbb{R^N})$ is a radially symmetric, positive function. We set our problem in such a way $\mathcal{l}_\epsilon$ approaches the fractional Laplacian as $\epsilon \to 0^+$, implying that the $L^1$-norm of $K_\epsilon$ blows up as $\epsilon \to 0^+$. In the first result of this part we provide a common space-time modulus of continuity independent of $\epsilon Mn (0,1)$, for the family of bounded solutions of the nonlocal Heat equation in the plane associated to $\mathcal{I}_\epsilon$. The second result of this part considers a Dirichlet problem in a bounded domain $\Omega \subset $\mathbb{R}^N$ associated to $mathcaI{I}_\epsilon$, and we conclude the compactness of the family of bounded solutions $\{u_\epsilon \}_\epsilon$ to these Dirichlet problems by finding a common modulus of continuity in $\bar{\Omega}$ for ${ u_\epsilon \}_\epsilon$, which is independent of $\epsilon$.


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