Géométrie des équations de Monge-Ampère complexes sur des variétés kähleriennes compactes

par Eleonora Di Nezza

Thèse de doctorat en Mathématiques fondamentales

Sous la direction de Vincent Guedj et de Stefano Trapani.

Soutenue en 2014

à Toulouse 3 .


  • Résumé

    Dans les années 70, Aubin-Yau ont résolu le problème de l'existence de metriques kaehleriennes à courbure de Ricci constante négative ou nulle sur les variétés kaehleriennes compactes. En particulier, ils ont prouvé l'existence et la régularité de la solution de l'équation de Monge-Ampére dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar où la forme dollar\omegadollar est kaehlerienne et la densitè dollar f dollar est lisse. Dans cette thèse on étudie les équations de Monge-Ampère dégénérées, où le mot "dégénérées" signifie ou bien que la classe de cohomologie est seulement grosse et non plus kaehlerienne, ou que les densités ont des singularités sur un diviseur. Si on considère une équation du type(*) (\theta+dd^c \f)^n= \mu où dollar\mu dollar est une mesure positive, il n'est pas toujours possible de donner un sens à la partie gauche de (*). Cependant, Guedj et Zeriahi ont observé que la construction par suite de Bedford et Taylor permet dans le cas global de définir la partie non-pluripolaire de la mesure positive dollar(\theta+dd^c\f)^ndollar pour toute fonction dollar\thetadollar-psh, où dollar\thetadollar est un represenant lisse dans la classe grosse. La notion de classes grosses est invariante par biméromorphisme tandis que ce n'est pas le cas dans le cadre des classes kaehleriennes. Donc, il est naturel d'étudier les propriétés d'invariance du produit non-pluripolaire dans le contexte de classes de cohomologie grosses. En effet, on montre que le produit non-pluripolaire est un invariant biméromorphe. En généralisant la fonctionnelle d'énergie de Aubin-Mabuchi, Boucksom, Eyssidieux, Guedj et Zeriahi ont introduit des énergies pondérés associées à des classes grosses. Sous certaines hypothéses naturelles, on démontre que ces énergies sont également des invariants par biméromorphisme. Nous étudions également les mesures de probabilité à énergie finie (ce concept était introduit par Berman, Boucksom, Guedj et Zeriahi) et prouvons que cette notion est un invariant biholomorphe mais pas biméromorphe. Par ailleurs, nous donnons des critères pour s'assurer qu'une mesure donnée est à énergie finie. Nous étudions ensuite les équations de Monge-Ampère sur les variétés quasi-projectives. En particulier, on considére une variété k\"ahlerienne compacte, dollarD\subset Xdollar un diviseur et on \'etudie l'\'equation dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar où dollar f dollar est lisse en dehors de dollar D dollar. Nous démontrons que l'unique solution dollar \f dollar (normalisée) est lisse en dehors de dollar D dollar (travail en collaboration avec Hoang Chinh Lu). La solution n'est pas bornée en general, et donc l'idée est de trouver la bonne fonction "modèle" (à priori singulière) qui est une borne inférieure de la solution. Pour faire celà on a introduit les capacités de Monge-Ampère generalisées, et on les a utlisé en suivant l'approche de Kolodziej, qui, cependant est valable pour les fonctions globalement bornées uniquement. Ces capacités, qui généralisent la capacité de Bedford et Taylor, s'avérent être le point clé pour étudier l'existence et la régularité des solutions des équations de Monge-Ampère du type dollar dollar\MA(\f)=e^{\lambda\f}f \omega^n, \qquad \lambda\in \R dollar dollar où dollar f dollar a des singularités le long d'un diviseur. Nous traitons aussi des cas où dollar f dollar n'est pas dans L^1, un problème important pour l'existence de metriques de Kaehler-Einstein singuliéres sur des variétés du type general avec singularités de type log-canoniques

  • Titre traduit

    Geometry of degenerate complex Monge-Ampère equations on compact Kaehler manifolds


  • Résumé

    In the mid 70's, Aubin-Yau solved the problem of the existence of Kaehler metrics with constant negative or identically zero Ricci curvature on compact Kaehler manifolds. In particular, they proved the existence and regularity of the solution of the complex Monge-Ampère equation (*) (\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar where dollar \mu dollar is a positive measure, it is not always possible to make sense of the left-hand side of (*). It was nevertheless observed by Guedj and Zeriahi thata construction going back to Bedford and Taylor enables in this global setting to define the non-pluripolar part of the would-be positive measure dollar (\theta+dd^c\f)^n dollar for an arbitrary dollar \thetadollar-psh function, where dollar\theta dollar represents a big class. The notion of big classes is invariant by bimeromorphism while this is not the case in the Kaehler setting. It is therefore natural to study the invariance property of the non-pluripolar product in the wider context of big cohomology classes. We indeed show that it is a bimeromorphic invariant. Generalizing the Aubin-Mabuchi energy functional, Boucksom, Eyssidieux, Guedj et Zeriahi introduced weighted energies associated to big cohomology classes. Under some natural assumptions, we show that such energies are also bimeromorphic invariants. We also investigate probability measures with finite energy and we show that this notion is a biholomorphic but not a bimeromorphic invariant. Furtheremore, we give criteria insuring that a given measure has finite energy and test these on various examples. We then study complex Monge-Ampère equations on quasi-projective varieties. In particular we consider a compact Kaehler manifold dollar X dollar, dollar D\subset X dollar a divisor and we look at the equation dollar dollar(\omega+dd^c\f)^n=f\omega^n dollar dollar where dollar f dollar is smooth outside dollar D dollar and with a precise behavior near the divisor. We prove that the unique normalized solution dollar \f dollar is smooth outside dollar D dollar and we are able to describe its asymptotic behavior near dollar D dollar (joint work with Hoang Chinh Lu). The solution is clearly not bounded in general and thus the idea is to find a convenient ``model" function (a priori singular) bounding from below the solution. To do so we introduce generalized Monge-Ampère capacities, and use them following Kolodziej's approach who deals with globally bounded potentials. These capacities, which generalize the Bedford-Taylor Monge-Ampère capacity, turn out to be the key point when investigating the existence and the regularity of solutions of complex Monge-Ampère equations of type dollar dollar \MA(\f)=e^{\lambda\f}f \omega^n, \qquad \lambda\in \R dollar dollar where dollar f dollar has divisorial singularities. We also treat some cases when dollar f dollar is not in L^1, an important issue for the existence of singular Kaehler-Einstein metrics on general type varieties with log-canonical singularities

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Informations

  • Détails : 1 vol. (120 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 115-120

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  • Bibliothèque : Université Paul Sabatier. Bibliothèque universitaire de sciences.
  • Disponible pour le PEB
  • Cote : 2014 TOU3 0077
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