Géométrie des mesures convexes et liens avec la théorie de l’information

par Arnaud Marsiglietti

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Matthieu Fradelizi.

Soutenue le 24-06-2014

à Paris Est , dans le cadre de École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-2015) , en partenariat avec Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (laboratoire) et de Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées / LAMA (laboratoire) .

Le président du jury était Mathieu Meyer.

Le jury était composé de Matthieu Fradelizi, Jean-François Bercher, François Bolley, Dario Cordero-Erausquin, Olivier Guédon.

Les rapporteurs étaient Ivan Gentil, Segey Bobkov.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l'étude des mesures convexes ainsi qu'aux analogies entre la théorie de Brunn-Minkowski et la théorie de l'information. Je poursuis les travaux de Costa et Cover qui ont mis en lumière des similitudes entre deux grandes théories mathématiques, la théorie de Brunn-Minkowski d'une part et la théorie de l'information d'autre part. Partant de ces similitudes, ils ont conjecturé, comme analogue de la concavité de l'entropie exponentielle, que la racine n-ième du volume parallèle de tout ensemble compact de $R^n$ est une fonction concave, et je résous cette conjecture de manière détaillée. Par ailleurs, j'étudie les mesures convexes définies par Borell et je démontre pour ces mesures une inégalité renforcée de type Brunn-Minkowski pour les ensembles convexes symétriques. Cette thèse se décompose en quatre parties. Tout d'abord, je rappelle un certain nombre de notions de base. Dans une seconde partie, j'établis la validité de la conjecture de Costa-Cover sous certaines conditions et je démontre qu'en toute généralité, cette conjecture est fausse en exhibant des contre-exemples explicites. Dans une troisième partie, j'étends les résultats positifs de cette conjecture de deux manières, d'une part en généralisant la notion de volume et d'autre part en établissant des versions fonctionnelles. Enfin, je prolonge des travaux récents de Gardner et Zvavitch en améliorant la concavité des mesures convexes sous certaines hypothèses telles que la symétrie

  • Titre traduit

    Geometry of convex measures and links with the Information theory


  • Résumé

    This thesis is devoted to the study of convex measures as well as the relationships between the Brunn-Minkowski theory and the Information theory. I pursue the works by Costa and Cover who highlighted similarities between two fundamentals inequalities in the Brunn-Minkowski theory and in the Information theory. Starting with these similarities, they conjectured, as an analogue of the concavity of entropy power, that the n-th root of the parallel volume of every compact subset of $R^n$ is concave, and I give a complete answer to this conjecture. On the other hand, I study the convex measures defined by Borell and I established for these measures a refined inequality of the Brunn-Minkowski type if restricted to convex symmetric sets. This thesis is split in four parts. First, I recall some basic facts. In a second part, I prove the validity of the conjecture of Costa-Cover under special conditions and I show that the conjecture is false in such a generality by giving explicit counterexamples. In a third part, I extend the positive results of this conjecture by extending the notion of the classical volume and by establishing functional versions. Finally, I generalize recent works of Gardner and Zvavitch by improving the concavity of convex measures under different kind of hypothesis such as symmetries


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Communautés d’Universités et d'Etablissements Université Paris-Est. Bibliothèque universitaire.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.