Combinatoire des algèbres de Hopf basées sur le principe sélection/quotient

par Nghia Nguyên Hoàng

Thèse de doctorat en Informatique

Sous la direction de Gérard Duchamp et de Adrian Tanasa.

Le président du jury était Loïc Foissy.

Le jury était composé de Christophe Tollu.

Les rapporteurs étaient Jean-Christophe Aval, Jean-Gabriel Luque.


  • Résumé

    Dans cette thèse, nous nous concentrons sur l’étude des algèbres de Hopf de type I, à savoir de type sélection/quotient. Nous présentons une structure d’algèbre de Hopf sur l’espace vectoriel engendré par les mots tassés avec du coproduit sélection/quotient. C’est un algèbre libre sur ses mots irreductible. Nous montrons que la série de Hilbert de cette algèbre de Hopf. Nous donnons une nouvelle preuve de l’universalité du polynôme de Tutte pour les matroïdes.Cette preuve utilise des caractères appropriés de l’algèbre de Hopf des matroïdes introduite par Schmitt (1994). Nous montrons que ces caractères sont des solutions des équations différentielles du même type que les équations différentielles utilisées pour décrire le flux du groupe de renormalisation en théorie quantique de champs. Cette approche nous permet aussi de démontrer,d’une manière différente, une formule de convolution du polynôme de Tutte des matroïdes,formule publiée par Kook, Reiner et Stanton (1999) et par Etienne et Las Vergnas (1998). Dans la dernière partie, nous définissons une algèbre de Hopf non-commutative de graphes. Lanon-commutativité du produit est obtenue grâce à des étiquettes entières distinctes associées aux arrêtes du graphe. Cette idée est inspirée de certaines techniques analytiques utilisées en renormalisation en théories quantiques des champs. Nous définissons ensuite une structure d’algèbre de Hopf, avec un coproduit basé sur une règle de type sélection/quotient, et nous démontrons la coassociativité de ce coproduit. Nous analysons finalement la structure de quadri-cogèbre et les structures codendriformes associées.

  • Titre traduit

    Combinatorial Hopf algebras based on the selection/quotient rule


  • Résumé

    In this thesis, we focus on the study of Hopf algebras of type I, namely the selection/quotient.We study the new Hopf algebra structure on the vector space spanned by packed words. Weshow that this algebra is free on its irreducible packed words. We also compute the Hilbertseries of this Hopf algebra.We provide a new way to obtain the universality of the Tutte polynomial for matroids. Thisproof uses appropriate characters of Hopf algebra of matroids, algebra introduced by Schmitt(1994). We show that these Hopf algebra characters are solutions of some differential equationswhich are of the same type as the differential equations used to describe the renormalizationgroup flow in quantum field theory. This approach allows us to also prove, in a different way, amatroid Tutte polynomial convolution formula published by Kook, Reiner and Stanton (1999)and by Etienne and Las Vergnas (1998).We define a non-commutative Hopf algebra of graphs. The non-commutativity of the productis obtained thanks to some discrete labels associated to the graph edges. This idea is inspiredfrom certain analytic techniques used in quantum field theory renormalization. We then definea Hopf algebra structure, with a coproduct based on a selection/quotient rule, and prove thecoassociativity of this coproduct. We analyze the associated quadri-coalgebra and codendrifromstructures.


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Informations

  • Détails : 1 vol. (111 p.)
  • Annexes : Bibliogr. p. 103-111

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  • Bibliothèque : Université Paris 13 (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis). Bibliothèque universitaire.
  • PEB soumis à condition
  • Cote : TH 2014 013
  • Bibliothèque : Université Paris 13 (Villetaneuse, Seine-Saint-Denis). Bibliothèque universitaire.
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