Le problème d’équivalence pour les variétés de Cauchy-Riemann en dimension 5

par Samuel Pocchiola

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Joël Merker.

Soutenue le 30-09-2014

à Paris 11 , dans le cadre de Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) .

Le président du jury était Elisha Falbel.

Le jury était composé de Joël Merker, Elisha Falbel, Alexandre Sukhov, Julien Duval, Jean Ecalle, Charles Frances.

Les rapporteurs étaient Alexandre Sukhov, Peter John Olver.


  • Résumé

    Ce mémoire est une contribution à la résolution du problème d'équivalence pour les variétés de Cauchy-Riemann en dimension inférieure ou égale à 5. On traite d'abord du cas des variétés CR de dimension 5, qui sont 2-nondégénérées et de rang de Levi constant égal à 1. Pour une telle variété, on obtient deux invariants, J et W, dont l'annulation simultanée caractérise l'équivalence locale à une variété modèle, le tube au-dessus du cône de lumière. Si l'un des deux invariants ne s'annule pas, on construit un parallélisme absolu, i.e. on montre que le problème d'équivalence se réduit à un problème d'équivalence entre {e}-structures de dimension 5. On étudie ensuite le problème d'équivalence pour certaines variétés CR de dimension 4 appelées variétés de Engel. Ce problème est résolu par la construction d'une connexion de Cartan sur un fibré principal de dimension 5. On traite ensuite du cas de variétés CR de dimension 5 dont le fibré CR vérifie une certaine hypothèse de dégénérecence. Le problème d'équivalence est résolu dans ce cas par la construction d'une connexion de Cartan sur un fibré de dimension 6. Enfin, on détermine les algèbres de Lie des automorphismes infinitésimaux des modèles pour les trois classes de variétés CR étudiées.

  • Titre traduit

    The equivalence problem for CR-manifolds in dimension 5


  • Résumé

    This memoir contributes to solve the equivalence problem for CR-manifolds in dimension up to 5. We first deal with the equivalence problem for 5-dimensional CR-manifolds which are 2-nondegenerate and of constant Levi rank 1. For such a manifold M, we find two invariants, J and W, the annulation of which gives a necessary and sufficient condition for M to be locally CR-equivalent to a model hypersurface, the tube over the light cone. If one of the invariants does not vanish on M, we construct an absolute parallelism on M, that is we show that the equivalence problem reduces to an equivalence problem between 5-dimensional {e}-structures. We then study the equivalence problem for 4-dimensional CR-manifolds which are known as Engel manifolds. This problem is solved by the construction of a canonical Cartan connection on a 5-dimensional bundle through Cartan's equivalence method. We also study the equivalence problem for 5-dimensional CR-manifolds whose CR-bundle satisfies a certain degeneracy assumption, and show that in this case, the problem is solved by the construction of a Cartan connection on a 6-dimensional bundle. The last part of this memoir is devoted to the determination of the Lie algebra of infinitesimal automorphisms for the model manifolds of the three previous classes.


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