Rank n swapping algebra and its applications

par Zhe Sun

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de François Labourie.

Soutenue le 03-07-2014

à Paris 11 , dans le cadre de Ecole doctorale Mathématiques de la région Paris-Sud (1992-2015 ; Orsay) , en partenariat avec Laboratoire de mathématiques d'Orsay (laboratoire) .

Le président du jury était Pierre Pansu.

Le jury était composé de François Labourie, Pierre Pansu, Olivier Guichard, Louis Funar.

Les rapporteurs étaient Vladimir Fock, Valentin Ovsienko, Olivier Guichard.

  • Titre traduit

    L’algèbre d’échangée de rang n et ses applications


  • Résumé

    Inspiré par l'algèbre d’échange et birapport de rang n introduit par F. Labourie, nous construisons un anneau muni de la structure de Poisson--- l’algèbre d’échangée de rang n Zn(P) pour étudier les espaces de modules de birapports . Nous prouvons que Zn(P) hérite d'une structure de Poisson provenant de l’algèbre d’échangée. Pour tenir compte des “birapports” dans l’anneau de fraction, en interprétant Zn(P) par un modèle géométrique dans l'étude de la géométrie théorie des invariants, nous montrons que Zn(P) est intègre. Ensuite, nous considérons l'anneau Bn(P) engendreré par les birapports dans l'anneau de fraction de Zn(P). Pour n = 2,3, nous trouvons un homomorphisme injectif poissonienne de l'anneau engendré par coordonnées de Fock-Goncharovde sur l'espace des configurations de drapeaux dans Rn vers Bn(P). En étudiant le système intégrable discret pour l'espace des configurations de polygones N-tordus dans RP1, à une transformation de Fourier discrète, nous rapportons asymptotiquement l'algèbre d’échangée à l'algèbre de Virasoro sur une hypersurface de MN, 1.


  • Résumé

    Inspired by the swapping algebra and the rank n cross-ratio introduced by F. Labourie, we construct a ring equipped with the swapping Poisson structure---the rank n swapping algebra Zn(P) to study the moduli spaces of cross ratios. We prove that Zn(P) inherits a Poisson structure form the swapping bracket. To consider the "cross-ratios" in the fraction ring, by interpreting Zn(P) by a geometric model in the study of geometry invariant theory, we prove that Zn(P) is an integral domain. Then we consider the ring Bn(P) generated by the cross ratios in the fraction ring of Zn(P). For n = 2,3, we embed in a Poisson way the ring generated by Fock-Goncharov coordinates for configuration space of flags in Rn into Bn(P). By studying the discrete integrable system for the configuration space MN,1 of N-twisted polygons in RP1, up to a discrete Fourier transformation, we asymptotically relate the swapping algebra to the Virasoro algebra on a hypersurface of MN,1.

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