Analytic and geometric aspects of spacetimes of low regularity

par Annegret Yvonne Burtscher

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de James D. E. Grant et de Philippe Lefloch.

Soutenue le 13-01-2014

à Paris 6 en cotutelle avec l'Universität Wien , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) .

Le jury était composé de Jérôme Novak, Adrian Constantin, Josef Hofbauer, Sidi Mahmoud Kaber.

  • Titre traduit

    Aspects analytiques et géométriques d'espaces-temps de faible régularité


  • Résumé

    La théorie de la relativité générale décrit l'effet de la gravitation en termes de géométrie des espaces-temps. La courbure des variétés lorentzienne est liée à l'énergie et l'évolution de la matière (ou du vide) par les équations d'Einstein, un système d'équations différentielles non-linéaires. Dans les années 1950, l'existence locale de solutions des équations d'Einstein a été établie. Motivé par ce résultat, j'étudie l'évolution ainsi que la régularité des espaces-temps. Il est démontré que certaines estimations d'énergie peuvent être contrôlées par des limites unilatérales portant uniquement sur la géométrie. Les estimations de l'énergie Bel-Robinson, par exemple, sont indispensables pour le calcul des critères d'effondrement pour les solutions des équations d'Einstein. Comme un important espace-temps, des modèles astrophysiques avec des sources de fluides parfaits sont considérés. Une théorie d'existence de solutions à symétrie sphérique pour l'équations Einstein-Euler est présenté et on identifie une classe de données initiales non-piégées qui conduit à la formation dynamique de surfaces piégées. Pour permettre des ondes de choc, des solutions à variation bornée sont considérées. Dans ce cadre de là et dans d'autres domaines de la relativité générale, il est crucial de comprendre si et comment la régularité des métriques influe sur la géométrie des espaces-temps. Je propose aussi quelques résultats généraux sur les métriques riemanniennes continues et sur l'algèbre des fonctions généralisées. Cette thèse montre donc que l'espace-temps de faible régularité présentent un large éventail de phénomènes intéressants au cours de leur évolution.


  • Résumé

    The general theory of relativity describes the effect of gravitation in terms of the geometry of spacetimes. The curvature of Lorentzian manifolds is related to the energy and momentum of matter (or vacuum) by the Einstein equations, a system of nonlinear partial differential equations. In the 1950s the initial value formulation and local existence of solutions to the Einstein equations were established. As of yet the global structure of spacetimes is much less understood. Motivated by this I investigate the evolution as well as the regularity of spacetimes. I show that certain energy estimates can be controlled by one-sided bounds on the geometry only. Estimates of the Bel-Robinson energy, for example, play a crucial role in the derivation of breakdown criteria for solutions of the vacuum Einstein equations. As an important astrophysical model spacetimes with perfect fluid sources are considered. An existence theory for spherically symmetric solutions to the Einstein-Euler equations is presented, and, above all, I identify for the first time a class of untrapped initial data that leads to the dynamical formation of trapped surfaces. To allow for shock waves, solutions are regarded to be of bounded variation. The distributional framework is essential here and in other areas of general relativity, and it is crucial to understand if and how the regularity of metrics influences the geometry of spacetimes. I account for this by deriving some general results on continuous Riemannian metrics and algebras of generalized functions. This thesis thus illustrates that spacetimes of low regularity exhibit a wide range of interesting phenomena during their evolution.

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