Une construction de métriques quaternion-kählériennes à partir du groupe G2.

par Quentin Dufour

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Olivier Biquard.

Le jury était composé de Olivier Biquard, Simon Salamon, Paul Gauduchon, Elisha Falbel.


  • Résumé

    Le théorème central de cette thèse est une construction de métriques quaternion-kählériennes sur des variétés de dimension 8 modelées sur l'espace symétrique de type non-compact G2/SO(4). Cette construction s'inscrit dans la lignée des constructions de LeBrun (1989) et de Biquard (2000) pour lesquelles d'un côté les variétés quaternion-kählériennes construites possèdent un modèle homogène qui est un espace symétrique de type non-compact G/K, et d'un autre côté, les données initiales peuvent s'interpréter comme étant des déformations d'un bord de Furstenberg G/P où P est un sous-groupe parabolique de G. Ces constructions nous amènent ainsi à penser qu'il existe une correspondance générale entre des déformations de bords de Furstenberg G/P et des variétés quaternion-kählériennes.Ces déformations d'espaces G/P sont des variétés munies de géométries paraboliques. Après une présentation de la théorie des géométries paraboliques donnée dans la première partie, nous nous consacrerons, dans la deuxième partie à la correspondance précédemment supposée. En observant la construction de LeBrun (1989), nous réduirons les candidats pour une généralisation de cette construction à deux cas dont celui de l'espace G2/SO(4) et du parabolique P fixant une droite isotrope de R^{3,4}. Dans la dernière partie, nous donnerons justement la construction des métriques quaternion-kählériennes dont les données initiales sont des géométries paraboliques de type (G2,P). Cette construction passe par la construction d'espaces des twisteurs dans lesquels nous déformons des courbes doubles. Les variétés quaternion-kählériennes construites sont des ouverts des espaces de déformation de ces courbes.

  • Titre traduit

    A construction of quaternionic Kähler metrics thanks to the exceptional Lie groupe G2


  • Résumé

    The main theorem of this thesis is a construction of quaternionic Kählerian metrics over a 8-manifolds modelled on the non-compact Riemannian symmetric space G2/SO(4). This construction is in line with LeBrun?s construction (1989) and Biquard?s construction (2000) for which, on one side, the quaternionic Kählerian manifolds constructed have a homogeneous model which is a non-compact Riemannian symmetric space G/K , and in the other side, the initial data can be seen as deformations of a Furstenberg boundary G/P with P a parabolic sub-group of G. These constructions lead us to think about a general correspondence between the deformations of Furstenberg boundaries and quaternionic Kählerian manifolds. Those deformation of G/P space are manifolds with parabolic geometries. After a presentation of the theory of parabolic geometries given in the first part, we will focus on the previous supposed correspondence in the second part. Observing LeBrun?s construction (1989), we will reduce the candidates for a generalisation of this construction to two cases among which the one of the space G2/SO(4) with the parabolic sub-group P stabilizing an isotropic line in R^{3,4}. In the last part, we will precisely give the construction of quaternionic Kählerian metrics with initial data some parabolic geometries of type (G2,P). This construction begins with the construction of twistor spaces where we will deform some double curve named ribbon. The quaternionic Kählerian manifolds constructed will be some open set in the space of deformation of these curves.


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