Aspects modulaires et elliptiques des relations entre multizêtas

par Samuel Baumard

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Leila Schneps.

Le jury était composé de À renseigner Enriquez, À renseigner Manchon, À renseigner Cartier, À renseigner Cresson, À renseigner Oesterle, À renseigner Schneps, À renseigner Waldschmidt.


  • Résumé

    Cette thèse porte sur la famille des nombres dits multizêtas, et sur les relations qu'ils vérifient.Le premier chapitre est une introduction générale au domaine et se donne pour objectif de présenter brièvement les différents cadres dans lesquels s'inscrivent les résultats des trois autres chapitres, et d'énoncer ces résultats.Dans le chapitre 2, on étudie les relations linéaires entre zêtas simples et zêtas doubles, en établissant un lien rigoureux entre ces relations, les relations linéaires entre crochets de Poisson d'éléments de profondeur 1 de l'algèbre de Lie libre à deux générateurs, et l'espace des formes modulaires. Il s'agit en grande partie d'algèbre linéaire élémentaire sur des matrices définies explicitement.Le résultat principal du chapitre 3 a trait à une algèbre de Lie de dérivations déduite de l'étude de la catégorie des motifs elliptiques mixtes introduite par Hain et Matsumoto. Il démontre l'existence de relations linéaires observées par Pollack dans cette algèbre et provenant elles aussi des formes modulaires. Les démonstrations consistent majoritairement à adapter des techniques introduites par Ecalle à l'étude des propriétés de certains polynômes non commutatifs.Le quatrième et dernier chapitre propose une construction d'une algèbre de multizêtas elliptiques formels, en analogie avec les travaux de Hain et Matsumoto sur les motifs elliptiques mixtes et d'Enriquez sur les associateurs elliptiques. Celle-ci se place dans le formalisme écallien des moules ; on prouve deux résultats partiels qui corroborent la validité de cette dernière construction.

  • Titre traduit

    Modular and elliptic aspects of relations between multiple zeta values


  • Résumé

    This thesis deals with the family of numbers called multiple zeta values, and on the relations they satisfy. The first chapter is a general introduction to the field and has the goal of briefly presenting the different settings into which the results of the three other chapters fit, and stating these results. In chapter 2, we study the linear relations between simple and double zeta values, establishing a rigorous connection between these relations, the linear relations between Poisson bracket of depth 1 elements of the free Lie algebra on two generators, and the space of modular forms. The proofs consist mainly in performing elementary linear algebra on explicitly defined matrices. The main result of chapter 3 involves a Lie algebra of derivations derived from the study of the category of mixed elliptic motives introduced by Hain and Matsumoto. We prove the existence of linear relations observed by Pollack in this algebra and which also come from modular forms. The bulk of the proofs rely on applying techniques introduced by Ecalle to the study of the properties of certain non-commutative polynomials. The fourth and last chapter proposes a construction of an elliptic formal multizeta algebra, in analogy with work by Hain and Matsumoto on mixed elliptic motives and Enriquez on elliptic associators. The latter falls within the écallian formalism of moulds, we prove two partial results which support the validity of said construction.


Il est disponible au sein de la bibliothèque de l'établissement de soutenance.

Consulter en bibliothèque

La version de soutenance existe

Où se trouve cette thèse ?

  • Bibliothèque : Université Pierre et Marie Curie. Bibliothèque Universitaire Pierre et Marie Curie. Bibliothèque électronique.
Voir dans le Sudoc, catalogue collectif des bibliothèques de l'enseignement supérieur et de la recherche.