Régularité et représentations localisées de textures à phases aléatoires

par Samuel Ronsin

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Lionel Moisan et de Hermine Biermé.

Soutenue le 15-12-2014

à Paris 5 , dans le cadre de École doctorale de Sciences mathématiques de Paris Centre (Paris) , en partenariat avec MAP5 - Mathématiques Appliquées à Paris 5 / MAP5 (laboratoire) .


  • Résumé

    Le travail présenté dans cette thèse porte sur différents aspects de l’analyse et de la synthèse de textures. Plus particulièrement, nous nous intéressons à des modèles de “micro-textures”, c’est-à-dire de textures dépourvues de motifs, dont les phases de la transformée de Fourier sont aléatoires. La première partie de cette thèse étudie quelques propriétés d’un représentant particulier de chaque classe de micro-texture, que nous appelons son texton. Un résultat prouve l’optimalité de la concentration du texton autour de l’origine (zéro spatial). Nous tirons parti de ce phénomène de concentration pour proposer des représentations parcimonieuses des micro-textures, approchées et exactes sous certaines hypothèses. Nous discutons différentes généralisations du texton au cas des textures en couleurs et nous efforçons d’étendre les approximations parcimonieuses définies dans le cadre d’images à niveaux de gris. Nous proposons ensuite d’interpréter l’optimalité de la concentration du texton comme un résultat de projection. Nous présentons plusieurs simulations de projection sur différents espaces d’images. Ces expériences numériques montrent que l’hypothèse, largement répandue en traitement du signal, selon laquelle “la géométrie des images est codée dans leur phase”, mérite d’être nuancée. Dans la dernière partie de cette thèse, nous étudions certaines propriétés asymptotiques de micro-textures du modèle de synthèse à phases aléatoires. Après nous être intéressés à la convergence vers un champ Gaussien de ce modèle dans son extension sur le plan discret (non-périodique) dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons à la convergence et aux propriétés locales (continuité et régularité) de sommes de Fourier aléatoires infinies multi-dimensionelles. Nous étendons au cas de la dimension quelconque un théorème de Billard et Kahane prouvant l’équivalence, pour les sommes aléatoires considérées, entre convergence uniforme p.s., convergence partout p.s. et continuité de la somme p.s. Nous étendons au cadre multi-dimensionel des conditions suffisantes et des conditions nécessaires pour la continuité et la régularité Hölderienne de ces sommes, dans un cadre d’analyse anisotropique.

  • Titre traduit

    Regularity and localized representations of random-phase textures


  • Résumé

    This dissertation deals with random-phase texture analysis and synthesis – i.e. textures without patterns, and with random Fourier phase. The first part studies properties of a special representant of each class of micro-textures, that we name texton. We prove an optimality result with respect to the spatial concentration around the origin. We take advantage of this concentration phenomenon to propose sparse representations of micro-textures, approximate and exact under some hypothesis. We discuss generalizations of the texton to color images and extend the sparse approximations developped for gray-scale images. We interpret the optimality of concentration as a projection result, and discuss several other projection experiments on different image spaces. These numerical experiments show that the hypothesis, widely believed in signal processing, claming that “the geometry of images is encoded in their phase” deserves further inquiry. In the last part of this dissertation, we study some asymptotical properties of the random-phase texture model. We proved the convergence to a Gaussian field while extending random-phase textures towards the whole (non-periodic) discrete plane in the first part of the dissertation, and we focus here on convergence and local properties (continuity and regularity) of multi-dimensional infinite random Fourier sums. We extend to the multi-dimensional case a theorem of Billard and Kahane showing the equivalence, for the random sums considered, between a.s. uniform convergence, a.s. pointwise convergence everywhere, and a.s. continuity everywhere. We also extend to the multi-dimensional case, sufficient conditions and necessary conditions for continuity and Hölder regularity of these sums, with an anisotropic framework.


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