Knot invariants in embedded contact homology

par Gilberto Spano

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Vincent Colin et de Paolo Ghiggini.

Le président du jury était Michel Boileau.

Le jury était composé de Vincent Colin, Paolo Ghiggini, Michel Boileau, Christine Lescop.

Les rapporteurs étaient Christine Lescop.

  • Titre traduit

    Invariants de nœuds en homologie de contact plongée


  • Résumé

    Given a contact 3-manifold (Y; α), let HF(Y ) and \ECH(Y; ) be the associated Heegaard Floer and, respectively, embedded contact homologies. In a series of papers Colin, Ghiggini and Honda proved that there exists a chain map that induces an isomorphism : HF(Y ) → ECH(Y; α) in homology. Given a knot K in Y , in [13] a hat embedded contact knot homology ECK(K; Y; α) is defined and an isomorphism with the hat Heegaard Floer knot homology HFK(K; Y ) is conjectured. These two homologies can be defined as first pages of spectral sequences arising from filtrations induced by K on chain complexes for ECH(Y; α) and HF(Y ). The aim of this thesis is to provide some evidences about the veracity of this conjecture. We define a full ECK homology and we generalize the definitions of ECK and ECK to any link. We compute then the Euler characteristics of these homologies for knots and links in homology three-spheres (endowed with a suitable contact form) and we prove that in S3 the ECK homology is a categorification of the multivariable Alexander polynomial. This fact, together with a well known analogous result in HFK, implies that the conjecture is true at the level of Euler characteristics in S3. Finally we show that, up to chain homotopies, the chain map Φ preserves the knot filtrations. This can be considered as a first step of a proof of the conjecture for fibered knots.


  • Résumé

    Soit (Y; α) une 3-variété de contact et HF(Y ), ECH(Y; α ) respectivement les homologies de Heegaard Floer et de contact plongée associées. Dans une serie d’articles, Colin, Ghiggini et Honda prouvent qu’il existe un morphisme de chaînes qui induit un isomorphisme Φ* : HF(Y ) → ECH(Y;α) en homologie. Étant donné un noeud K dans Y , une version chapeau ECK(K; Y; α) de l’homologie de contact plongée pour les noeuds est définie dans [13] et un isomorphisme avec l’homologie de Heegaard Floer HFK(K; Y ) est conjecturé. Ces deux homologies peuvent être définies comme la première page de suites spectrales déterminées par des filtrations induites par K sur des complexes de chaînes pour ECH (Y; α) et HF(Y ). Le but de cette thèse est de fournir des indices sur la véracité de cette conjecture. On définie une version complète ECK de l’homologie\ECK et on généralise les définitions de ECK et ECK aux entrelacs. On calcule ensuite les caractéristiques d’Euler de ces homologies pour les noeuds et entrelacs dans les trois-sphères d’homologie (munies d’une forme de contact convenable) et on prouve que, dans S3, l’homologie ECK est une catégorification du polynôme d’Alexander à multivariables. Ce fait, associé à un résultat bien connu analogue en HFK, implique que la conjecture est vraie au niveau de caractéristiques d’Euler en S3. Finalement, nous montrons que, à homotopies de chaînes près, le morphisme Φ préserve les filtrations du noeud. Ceci peut être considéré comme la première étape d’une preuve de la conjecture pour les noeuds fibrés.

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Informations

  • Détails : 1 vol. (128 p.)
  • Notes : Publication autorisée par le jury
  • Annexes : Bibliogr p.125-128

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  • Bibliothèque : Université de Nantes. Service commun de la documentation. BU Sciences.
  • Disponible pour le PEB
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