Hyperarbres et Partitions semi-pointées : aspects combinatoires, algébriques et homologiques

par Bérénice Delcroix-Oger

Thèse de doctorat en Mathématiques

Sous la direction de Frédéric Chapoton.

Soutenue le 21-11-2014

à Lyon 1 , dans le cadre de École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon , en partenariat avec ICJ - Institut Camille Jordan (Villeurbanne, Rhône) (laboratoire) .

Le président du jury était Mireille Bousquet-Mélou.

Le jury était composé de Sylvie Corteel, Frédéric Jouhet.

Les rapporteurs étaient François Bergeron, Nicolas Thiéry.


  • Résumé

    Cette thèse est consacrée à l’étude combinatoire, algébrique et homologique des hyperarbres et des partitions semi-pointées. Nous étudions plus précisément des structures algébriques et homologiques construites à partir des hyperarbres, puis des partitions semi-pointées.Après un bref rappel des notions utilisées, nous utilisons la théorie des espèces de structure afin de déterminer l’action du groupe symétrique sur l’homologie du poset des hyperarbres. Cette action s’identifie à l’action du groupe symétrique liée à la structure anti-cyclique de l’opérade PreLie. Nous raffinons ensuite nos calculs sur une graduation de l’homologie, appelée homologie de Whitney. Cette étude motive l'introduction de la notion d’hyperarbre aux arêtes décorées par une espèce. Une bijection des hyperarbres décorés avec des arbres en boîtes et des partitions décorées permet d’obtenir une formule close pour leur cardinal, à l’aide d’un codage de Prüfer. Nous adaptons ensuite les méthodes de calcul de caractères sur les algèbres de Hopf d’incidence, introduites par W. Schmitt dans le cas de familles de posets bornés, à des familles de posets non bornés vérifiant certaines propriétés. Nous appliquons ensuite cette adaptation aux posets des hyperarbres. Enfin, au cours de notre étude une généralisation des posets des partitions et des posets des partitions pointées apparaît : les poset des partitions semi-pointées. Nous montrons que ces posets sont aussi Cohen-Macaulay, avant de déterminer à l’aide de la théorie des espèces une formule close pour la dimension de l’unique groupe d’homologie non trivial de ces posets

  • Titre traduit

    Hypertrees and semi-pointed Partitions : combinatorial, algebraic and homological Aspects


  • Résumé

    This thesis is dedicated to the combinatorial, algebraic and homological study of hypertrees and semi-pointed partitions. More precisely, we study algebraic and homological structures built from hypertrees and semi-pointed partitions. After recalling briefly the notions needed, we use the theory of species of structures to compute the action of the symmetric group on the homology of the hypertree posets. This action is the same as the action of the symmetric group linked with the anticyclic structure of the PreLie operad. We refine our computations on a grading of the homology : Whitney homology. This study is a motivation for the introduction of the notion of edge-decorated hypertrees. A one-to-one correspondence of decorated hypertrees with box trees and decorated partitions enables us to compute a close formula for the cardinality of decorated hypertrees, thanks to a Prüfer code. Moreover, we adapt computation methods of characters on incidence Hopf algebras, introduced by W. Schmitt for families of bounded posets, to families of unbounded posets satisfying some additional properties, called triangle and diamond posets. We apply these results to the hypertree posets. Finally, we unveil a new family of posets : the semi-pointed partition posets, which generalize both partition posets and pointed partition posets. We show the Cohen-Macaulayness of these posets and obtain, thanks to species theory, a closed formula for the dimension of its unique homology group, which extend the ones established for partition posets and pointed partition posets


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